Le proprietà delle formali sommatorie
Salve ho qualche difficoltà a comprendere le sommatorie a leggerle e a scriverle in forma estesa.
In particolare non capisco bene certe proprietà come:
1- sommatoria con termine costante
$ sum_(k = 1)^(n) c=c*n=c*$(num addendi della sommatoria)
2- La scomposizione:
$ sum_(k = 1)^(n + m)a_k $ = $sum_(k = 1)^(n)a_k+sum_(k = n+1)^(n + m)a_k $
questa in particolare è oscura per me
3- Traslazione degli indici:
$ sum_(k = 1)^(n)a_k= sum_(k=1+m)^(n+m)a_(k-m) $
4 E infine riflessione degli indici:
$ sum_(k = 1)^(n)a_k= sum_(k=1)^(n)a_(n-k+1)=sum_(k=0)^(n-1)a_(n-k) $
Sono duro di comprendonio vi avverto
.Se qualcuno mi aiutasse a capire queste sommatorie spiegando nel modo più semplice possibile mi farebbe un grande piacere.
Vi ringrazio.
In particolare non capisco bene certe proprietà come:
1- sommatoria con termine costante
$ sum_(k = 1)^(n) c=c*n=c*$(num addendi della sommatoria)
2- La scomposizione:
$ sum_(k = 1)^(n + m)a_k $ = $sum_(k = 1)^(n)a_k+sum_(k = n+1)^(n + m)a_k $
questa in particolare è oscura per me
3- Traslazione degli indici:
$ sum_(k = 1)^(n)a_k= sum_(k=1+m)^(n+m)a_(k-m) $
4 E infine riflessione degli indici:
$ sum_(k = 1)^(n)a_k= sum_(k=1)^(n)a_(n-k+1)=sum_(k=0)^(n-1)a_(n-k) $
Sono duro di comprendonio vi avverto
.Se qualcuno mi aiutasse a capire queste sommatorie spiegando nel modo più semplice possibile mi farebbe un grande piacere. Vi ringrazio.
Risposte
1)
c+c+c+c+c+c+c+... fatto n volte non è altro che n*c (dalla definizione di moltiplicazione!).
Il succo è che spesso per capire queste cose ti serve scrivere per esteso la sonnatoria. Prova tu ora con le altre, scrivi per esteso...
c+c+c+c+c+c+c+... fatto n volte non è altro che n*c (dalla definizione di moltiplicazione!).
Il succo è che spesso per capire queste cose ti serve scrivere per esteso la sonnatoria. Prova tu ora con le altre, scrivi per esteso...
"Fedecart":
1)
c+c+c+c+c+c+c+... fatto n volte non è altro che n*c (dalla definizione di moltiplicazione!).
Il succo è che spesso per capire queste cose ti serve scrivere per esteso la sonnatoria. Prova tu ora con le altre, scrivi per esteso...
Forse la 2)
$ ak(n+m)+ak(n+m)... $
?
Come hai scritto tu la 2) nel primo post non son convintissimo che sia vera... Non è che hai dimenticato un segno più e hai fatto un pò di confusione con gli indici? Cioè, le due serie a primo membro sono realmente moltiplicate tra loro?
"Fedecart":
Come hai scritto tu la 2) nel primo post non son convintissimo che sia vera... Non è che hai dimenticato un segno più e hai fatto un pò di confusione con gli indici? Cioè, le due serie a primo membro sono realmente moltiplicate tra loro?
Si scusami hai ragione, adesso è corretto.
Mi potresti dare una mano per caso?
Sommatoria di costanti
$ sum_(k = 1)^(n) c=c*n $
come ti hanno già suggerito, sommi uno stesso termine $n$ volte di fila, e questo per le costanti equivale alal definizione di moltiplicazione $ a*b := sum_{i=0}^b a $
2- La scomposizione:
$ sum_(k =1)^(n + m)a_k = sum_(k = 1)^(n)a_k+sum_(k = n+1)^(n + m)a_k $
come anche dopo ti hanno suggerito, qui conviene esplicitare la sommatoria.
Dato che $sum_(k = 1)^(n + m)a_k = a_0 + a_1 + ... + a_(n+m) $. Questa la puoi a sua volta considerare come:
$ a_0 + a_1 + ... + a_n + a_(n+1) + a_(n+2) + ... + a_(n+m) $
che puoi sintetizzare come $ sum_(k = 1)^(n)a_k + sum_(k = n+1)^(n + m)a_k $. ( CVD )
3- Traslazione degli indici:
$ sum_(k = 1)^(n)a_k= sum_(k=1+m)^(n+m)a_(k-m) $
Questo è un puro fatto nominale.. se espliciti la serie ottieni proprio lo sviluppo che ho scritto prima.
4 E infine riflessione degli indici:
$ sum_(k = 1)^(n)a_k= sum_(k=1)^(n)a_(n-k+1)=sum_(k=0)^(n-1)a_(n-k) $
cosa sarebbe n? Non è un'indice, non rappresenta niente come argomento della serie. In poche parole, non ha senso quello che hai scritto. Al limite puoi dire
$sum_(k=1)^n a_k = sum_(k=0)^n-1 a_(k+1) $
per la stessa proprietà di traslazione sopra scritta.
$ sum_(k = 1)^(n) c=c*n $
come ti hanno già suggerito, sommi uno stesso termine $n$ volte di fila, e questo per le costanti equivale alal definizione di moltiplicazione $ a*b := sum_{i=0}^b a $
2- La scomposizione:
$ sum_(k =1)^(n + m)a_k = sum_(k = 1)^(n)a_k+sum_(k = n+1)^(n + m)a_k $
come anche dopo ti hanno suggerito, qui conviene esplicitare la sommatoria.
Dato che $sum_(k = 1)^(n + m)a_k = a_0 + a_1 + ... + a_(n+m) $. Questa la puoi a sua volta considerare come:
$ a_0 + a_1 + ... + a_n + a_(n+1) + a_(n+2) + ... + a_(n+m) $
che puoi sintetizzare come $ sum_(k = 1)^(n)a_k + sum_(k = n+1)^(n + m)a_k $. ( CVD )
3- Traslazione degli indici:
$ sum_(k = 1)^(n)a_k= sum_(k=1+m)^(n+m)a_(k-m) $
Questo è un puro fatto nominale.. se espliciti la serie ottieni proprio lo sviluppo che ho scritto prima.
4 E infine riflessione degli indici:
$ sum_(k = 1)^(n)a_k= sum_(k=1)^(n)a_(n-k+1)=sum_(k=0)^(n-1)a_(n-k) $
cosa sarebbe n? Non è un'indice, non rappresenta niente come argomento della serie. In poche parole, non ha senso quello che hai scritto. Al limite puoi dire
$sum_(k=1)^n a_k = sum_(k=0)^n-1 a_(k+1) $
per la stessa proprietà di traslazione sopra scritta.
2- La scomposizione:
$ sum_(k =1)^(n + m)a_k = sum_(k = 1)^(n)a_k+sum_(k = n+1)^(n + m)a_k $
come anche dopo ti hanno suggerito, qui conviene esplicitare la sommatoria.
Dato che $sum_(k = 1)^(n + m)a_k = a_0 + a_1 + ... + a_(n+m) $. Questa la puoi a sua volta considerare come:
$ a_0 + a_1 + ... + a_n + a_(n+1) + a_(n+2) + ... + a_(n+m) $
che puoi sintetizzare come $ sum_(k = 1)^(n)a_k + sum_(k = n+1)^(n + m)a_k $. ( CVD )
.
2) Scusami continuo a non capire forse sbaglio a scriverle per esteso.
Una cosa perchè parti da $ a_0 $ se $ k=1 $ ? Vabè alla fine non è importante.
non capisco perché la posso anche scrivere così $ a_0 + a_1 + ... + a_n + a_(n+1) + a_(n+2) + ... + a_(n+m) $ arrivado a n+m?
no aspettate forse ho capito, ho fatto questo esempio per comprenderlo, non so se ho afferrato:
$ sum_(k = 1)^(2+8)*a_k=a_1+a_2+a_(2+1)+a_(2+2)+a_(2+3)+a_(2+4)+a_(2+5)+a_(2+6)+a_(2+7)+a_(2+8) $
$ sum_(k = 1)^(2)*a_k= a_1+a_2
$ sum_(k = 2+1)^(2+8)*a_k=a_(2+1)+a_(2+2)+a_(2+3)+a_(2+4)+a_(2+5)+a_(2+6)+a_(2+7)+a_(2+8) $
E' giusto?
$ sum_(k = 1)^(2+8)*a_k=a_1+a_2+a_(2+1)+a_(2+2)+a_(2+3)+a_(2+4)+a_(2+5)+a_(2+6)+a_(2+7)+a_(2+8) $
$ sum_(k = 1)^(2)*a_k= a_1+a_2
$ sum_(k = 2+1)^(2+8)*a_k=a_(2+1)+a_(2+2)+a_(2+3)+a_(2+4)+a_(2+5)+a_(2+6)+a_(2+7)+a_(2+8) $
E' giusto?
"Twilight.Angel90":
no aspettate forse ho capito, ho fatto questo esempio per comprenderlo, non so se ho afferrato:
$ sum_(k = 1)^(2+8)*a_k=a_1+a_2+a_(2+1)+a_(2+2)+a_(2+3)+a_(2+4)+a_(2+5)+a_(2+6)+a_(2+7)+a_(2+8) $
$ sum_(k = 1)^(2)*a_k= a_1+a_2$
$ sum_(k = 2+1)^(2+8)*a_k=a_(2+1)+a_(2+2)+a_(2+3)+a_(2+4)+a_(2+5)+a_(2+6)+a_(2+7)+a_(2+8) $
E' giusto?
Perchè ti complichi la vita a scrivere gli indici come $2+1$, $2+2$, $2+3$, etc.
è logico che per notazione ti scrivono $a_(n+1)$ ma al momento che hai valori numerici scrivi direttamente $a_3$ e non $a_(2+1)$ altrimenti sembra che non hai chiaro quali sono i termini.
$ sum_(k = 1)^(2+8)*a_k= sum_(k = 1)^(10)*a_k $
$ sum_(k = 1)^(10)*a_k= a_1 + sum_(k = 2)^(10)*a_k = a_1 + a_2 + sum_(k = 3)^(10)*a_k = sum_(k = 1)^(2)*a_k + sum_(k = 3)^(10)*a_k= sum_(k = 1)^(n)*a_k + sum_(k = n+1)^(10)*a_k $
alla fine sommi sempre $10$ termini ma hai prima la somma dei termini che vanno da $1$ a $n$ con $1
Se metti $n+m = 10$ vedi che è uguale a quella che ti hanno già scritto.
io non capisco la riflessione degli indici... l'ho scritta in forma estesa ma non arriva ad essere uguale a: a1+a2+a3...an 
Anche io non ho molto chiara la riflessione degli indici. Qualcuno sarebbe così gentile da "dimostrarla" in qualche modo!? Grazie!
L'ultima proprietà è un po' beffarda...ma allo stesso tempo geniale!
In quanto segue non utilizzerò la dicitura standard dato che non ho ancoraa visto come si inseriscono le formule e quant'altro. Spero di essere il più chiaro possibile.
Iniziamo!
Si utilizza semplicemente la proprietà commutativa dell'addizione per esprimere la successione di addizioni che vanno di 1 a n.
Mi spiego meglio :
La sommatoria che trovi prima dell'uguale , sommatoria che va da k =1 a n di Ak è esattamente uguale a sommare A1 + A2 + A3 +....+ An, per definizione di sommatoria.
Fin qui credo che ci si arrivi facilmente.
La sommatoria che trovi subito dopo, (cioè sommatoria che va da k=1 a n di A(n-k+1) ) è esattamente uguale a ciò che abbiamo scritto nella pima ma invertendo l'ordine (proprietà commutativa dell'addizione).
Se osserviamo bene sostituendo k=1 a A(n-k+1) otteniamo An.
Al passaggio successivo sotuiamo k=2 ed otterremmo A(n-1).
Capite bene che questa iterazione continua fino a k=n dove otterremmo il primo addendo della prima sommatoria che abbiamo insieme analizzato, A(n-n+1)= A1.
Per cui la seconda sommatoria, cioè sommatoria che va da k=1 a n di A(n-k+1), è uguale a (An + A(n-1) + A(n-2) + A(n-3) +...+ A1).
Spero di non aver perso nessuno tra gli indici... andiamo verso l'uguaglianza più sottile.
Questa volta invece di partire da k=1, decidiamo di partire da k=0.
Questa scelta fa si che l'indice A(n-k) sia privo di quel +1 che notavamo nella seconda sommatoria.
Per capire bene questo passaggio possiamo provare a sostituire e vedremo che come nella seconda sommatoria il nostro primo addendo è sempre A(n-0)= An
L'iterazione continua ed otteniamo A(n-1) da k=1 , A(n-2) da k=2 e così via.
L'ultima accortezza è quella di sostituire a n l'indice n+1. Perchè?
La scelta è sempre all'interno della sostituzione pratica... se ci fosse n la sommatoria includerebbe anche (An-n)= A0 come ultimo termine di chiusura, ma questo non è stato mai incluso nelle altre due, per cui rischieremo di sommare qualcosa di troppo.
Per questo l'indice di chiusura dell'addizione è n+1.
Sostituendo avremo il nostro ultimo addendo per la seconda sommatoria e primo per la prima sommatoria che abbiamo analizzato, A1.
Il gioco è fatto!
In quanto segue non utilizzerò la dicitura standard dato che non ho ancoraa visto come si inseriscono le formule e quant'altro. Spero di essere il più chiaro possibile.
Iniziamo!
Si utilizza semplicemente la proprietà commutativa dell'addizione per esprimere la successione di addizioni che vanno di 1 a n.
Mi spiego meglio :
La sommatoria che trovi prima dell'uguale , sommatoria che va da k =1 a n di Ak è esattamente uguale a sommare A1 + A2 + A3 +....+ An, per definizione di sommatoria.
Fin qui credo che ci si arrivi facilmente.
La sommatoria che trovi subito dopo, (cioè sommatoria che va da k=1 a n di A(n-k+1) ) è esattamente uguale a ciò che abbiamo scritto nella pima ma invertendo l'ordine (proprietà commutativa dell'addizione).
Se osserviamo bene sostituendo k=1 a A(n-k+1) otteniamo An.
Al passaggio successivo sotuiamo k=2 ed otterremmo A(n-1).
Capite bene che questa iterazione continua fino a k=n dove otterremmo il primo addendo della prima sommatoria che abbiamo insieme analizzato, A(n-n+1)= A1.
Per cui la seconda sommatoria, cioè sommatoria che va da k=1 a n di A(n-k+1), è uguale a (An + A(n-1) + A(n-2) + A(n-3) +...+ A1).
Spero di non aver perso nessuno tra gli indici... andiamo verso l'uguaglianza più sottile.
Questa volta invece di partire da k=1, decidiamo di partire da k=0.
Questa scelta fa si che l'indice A(n-k) sia privo di quel +1 che notavamo nella seconda sommatoria.
Per capire bene questo passaggio possiamo provare a sostituire e vedremo che come nella seconda sommatoria il nostro primo addendo è sempre A(n-0)= An
L'iterazione continua ed otteniamo A(n-1) da k=1 , A(n-2) da k=2 e così via.
L'ultima accortezza è quella di sostituire a n l'indice n+1. Perchè?
La scelta è sempre all'interno della sostituzione pratica... se ci fosse n la sommatoria includerebbe anche (An-n)= A0 come ultimo termine di chiusura, ma questo non è stato mai incluso nelle altre due, per cui rischieremo di sommare qualcosa di troppo.
Per questo l'indice di chiusura dell'addizione è n+1.
Sostituendo avremo il nostro ultimo addendo per la seconda sommatoria e primo per la prima sommatoria che abbiamo analizzato, A1.
Il gioco è fatto!
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