Le norme sono equivalenti - e i prodotti scalari?
Una curiosità che mi è venuta in mente studiando gli spazi di Sobolev $H^m(RR^N)$.
Supponiamo di avere uno spazio a prodotto scalare $(H, \langle\ ,\ \rangle_1 )$, la cui relativa norma indico con $||*||_1$. Se su $H$ esiste una norma $||*||_2$ equivalente alla $||*||_1$, e se la $||*||_2$ proviene dal prodotto scalare $\langle\ ,\ \rangle_2$, che relazione c'è tra i due prodotti scalari?
Mi interessano due cose:
a) Si conserva la relazione di ortogonalità? (Ovvero, $\langlev,w\rangle_1=0 \iff \langlev,w\rangle_2=0$? )
b) Si conservano le proiezioni ortogonali (supponendo magari $H$ di Hilbert, che è il caso interessante)?
Che ne dite?
Supponiamo di avere uno spazio a prodotto scalare $(H, \langle\ ,\ \rangle_1 )$, la cui relativa norma indico con $||*||_1$. Se su $H$ esiste una norma $||*||_2$ equivalente alla $||*||_1$, e se la $||*||_2$ proviene dal prodotto scalare $\langle\ ,\ \rangle_2$, che relazione c'è tra i due prodotti scalari?
Mi interessano due cose:
a) Si conserva la relazione di ortogonalità? (Ovvero, $\langlev,w\rangle_1=0 \iff \langlev,w\rangle_2=0$? )
b) Si conservano le proiezioni ortogonali (supponendo magari $H$ di Hilbert, che è il caso interessante)?
Che ne dite?
Risposte
Scrivendo scrivendo mi è venuto in mente che forse la risposta è no a tutte e due in maniera molto banale: ad esempio in $RR^2$ uno può prendere come $\langle, \rangle_1$ il prodotto scalare solito e come $\langle,\rangle_2$ un prodotto tale che $(1, 0), (1,1)$ sia una base ortonormale.
Le norme che ne vengono fuori sono equivalenti per un mitico teorema di equivalenza e però tanto a) quanto b) sono false.
Le norme che ne vengono fuori sono equivalenti per un mitico teorema di equivalenza e però tanto a) quanto b) sono false.
Mi stava venendo la stessa risposta... Arguto! 
Per $L^2$, ad esempio, potresti provare ad aggiungere un "peso" dentro l'integrale, ossia definire un prodotto scalare attraverso:
$<< f,g>> = \int f*g*w" d"mu$
(ho preso funzioni reali, per le complesse basta mettere a posto i coniugati...) con $w \in L^oo$ e $>=0$ q.o. risp. a $mu$; questo si può fare perchè per Hölder $f*g \in L^1$ ed, ancora per Hölder, $\int (f*g)*w" d"mu <+oo$.
Per $L^2$, ad esempio, potresti provare ad aggiungere un "peso" dentro l'integrale, ossia definire un prodotto scalare attraverso:
$<< f,g>> = \int f*g*w" d"mu$
(ho preso funzioni reali, per le complesse basta mettere a posto i coniugati...) con $w \in L^oo$ e $>=0$ q.o. risp. a $mu$; questo si può fare perchè per Hölder $f*g \in L^1$ ed, ancora per Hölder, $\int (f*g)*w" d"mu <+oo$.
Non c'ho pensato seriamente, però così ti dico che:
data una qualunque norma (le condizioni più generali in cui ho visto una dimostrazione - per altro un esercizio datoci da Jannelli) in un Banach, ove vale l'identità del parallelogramma, puoi "risalire" dalla norma al prodotto scalare usando l'identità di polarizzazione. Non so, così puoi forse trovare un legame esplicito tra i prodotti scalari?
data una qualunque norma (le condizioni più generali in cui ho visto una dimostrazione - per altro un esercizio datoci da Jannelli) in un Banach, ove vale l'identità del parallelogramma, puoi "risalire" dalla norma al prodotto scalare usando l'identità di polarizzazione. Non so, così puoi forse trovare un legame esplicito tra i prodotti scalari?
Non credo, Gaal. Ho pensato anche io all'identità di polarizzazione ma in questo caso (imho) non serve a granché. Infatti, supponendo di avere scalari reali, l'identità di polarizzazione recita così:
(P) $2\langlev, w\rangle_1=||v+w||_1^2-||v||_1^2-||w||_1^2$.
Quindi, sapere che $c||v||_2<=||v||_1<=C||v||_2$ non aggiunge molto perché nel secondo membro di (P) "alcuni addendi compaiono con il meno e altri con il più" (vabbé
).
E difatti gli esempi precedenti mostrano che a norme equivalenti possono corrispondere prodotti scalari proprio diversi. Ad esempio, con il prodotto esibito da Gugo (ove pongo $w=x$) mi pare che ${1/(2pi), (cosnx)/pi, (sinmx)/pi}$ non sia una base ortonormale di $L^2(T)$: già $\langlesinx, cosx\rangle=int_-pi^pixsinxcosx"d"x!=0$. Quindi seno e coseno non sono nemmeno ortogonali.
Io credo che questa sia una riflessione semplice e simpatica: ci ricorda che il prodotto scalare non riguarda solo l'aspetto topologico, ma anche quello algebrico e geometrico dello spazio in questione.
(P) $2\langlev, w\rangle_1=||v+w||_1^2-||v||_1^2-||w||_1^2$.
Quindi, sapere che $c||v||_2<=||v||_1<=C||v||_2$ non aggiunge molto perché nel secondo membro di (P) "alcuni addendi compaiono con il meno e altri con il più" (vabbé
). E difatti gli esempi precedenti mostrano che a norme equivalenti possono corrispondere prodotti scalari proprio diversi. Ad esempio, con il prodotto esibito da Gugo (ove pongo $w=x$) mi pare che ${1/(2pi), (cosnx)/pi, (sinmx)/pi}$ non sia una base ortonormale di $L^2(T)$: già $\langlesinx, cosx\rangle=int_-pi^pixsinxcosx"d"x!=0$. Quindi seno e coseno non sono nemmeno ortogonali.
Io credo che questa sia una riflessione semplice e simpatica: ci ricorda che il prodotto scalare non riguarda solo l'aspetto topologico, ma anche quello algebrico e geometrico dello spazio in questione.
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