Le funzioni continue sono limitate: dimostrazioni dei libri
Ciao a tutti.
Sto studiando la continuità delle funzioni reali ad una variabile reale.
In molti libri di testo viene presentato un teorema del tipo "Una funzione continua è limitata" oppure "Esistenza degli estremi sup. e inf. delle funzioni continue", con apposita dimostrazione (a volte anche macchinosa).
Ma a me sembra che questo teorema e relativa dimostrazione siano del tutto ridondanti. Perché la limitatezza delle funzioni continue (o, in altre parole, l'esistenza degli estremi sup. e inf.) sono una naturale conseguenza della definizione stessa di continuità!
Una funzione è continua su un intervallo I,
se per ogni y elemento di I,
esiste il limite finito di f(x) per x che tende ad y,
e tale limite è uguale al valore stesso della funzione in y f(y).
Se una funzione è continua sappiamo quindi che per ogni y dell'intervallo I il limite relativo è FINITO ed è uguale al valore della funzione f(y).
Possiamo quindi dedurne che per ogni y dell'intervallo I il valore della funzione f(y) è finito. CVD
Vi chiedo se secondo voi il mio ragionamento è corretto.. perché qualche dubbio ce l'ho: possibile che libri di testo universitari si perdano così in un bicchiere d'acqua, provando un risultato con dimostrazioni apposite, anche complicate, quando il risultato deriva con naturalezza dalla definizione stessa!
Voi che ne pensate?
Sto studiando la continuità delle funzioni reali ad una variabile reale.
In molti libri di testo viene presentato un teorema del tipo "Una funzione continua è limitata" oppure "Esistenza degli estremi sup. e inf. delle funzioni continue", con apposita dimostrazione (a volte anche macchinosa).
Ma a me sembra che questo teorema e relativa dimostrazione siano del tutto ridondanti. Perché la limitatezza delle funzioni continue (o, in altre parole, l'esistenza degli estremi sup. e inf.) sono una naturale conseguenza della definizione stessa di continuità!
Una funzione è continua su un intervallo I,
se per ogni y elemento di I,
esiste il limite finito di f(x) per x che tende ad y,
e tale limite è uguale al valore stesso della funzione in y f(y).
Se una funzione è continua sappiamo quindi che per ogni y dell'intervallo I il limite relativo è FINITO ed è uguale al valore della funzione f(y).
Possiamo quindi dedurne che per ogni y dell'intervallo I il valore della funzione f(y) è finito. CVD
Vi chiedo se secondo voi il mio ragionamento è corretto.. perché qualche dubbio ce l'ho: possibile che libri di testo universitari si perdano così in un bicchiere d'acqua, provando un risultato con dimostrazioni apposite, anche complicate, quando il risultato deriva con naturalezza dalla definizione stessa!
Voi che ne pensate?
Risposte
Il teorema a cui credo tu stia alludendo stabilisce qualcosa di più... Cioè che se $x_0$ è un punto dell'intervallo di definizione della funzione e in questo punto essa è continua, allora la funzione è limitata in un intorno del punto $x_0$ .
La dimostrazione è banale lo stesso. Sul Prodi è chiamato "Teorema di limitatezza locale".
La dimostrazione è banale lo stesso. Sul Prodi è chiamato "Teorema di limitatezza locale".
Ho letto con più attenzione quanto hai scritto tu.
Lasciando da parte quello che ho scritto prima, dire che se una funzione è continua su un intervallo $I$ allora è limitata in $I$ è sbagliato. Prendi $1/x$ in $(0,1]$. Cosa volevi dire esattamente? Ho frainteso?
Lasciando da parte quello che ho scritto prima, dire che se una funzione è continua su un intervallo $I$ allora è limitata in $I$ è sbagliato. Prendi $1/x$ in $(0,1]$. Cosa volevi dire esattamente? Ho frainteso?
Il teorema in questione e' fondamentalmente equivalente al teorema di Weierstrass, che non e' che sia del tutto banale: come e' stato osservato da Seneca, NON e' vero che funzioni continue su un intervallo sono limitate, ma serve che l'intervallo sia chiuso e quello che si usa nella dimostrazione penso che sia qualcosa di equivalente alla proprieta' di Heine-Borel o qualche altra variante della compattezza: insomma, un risultato, nella sua semplicita', assolutamente non triviale.
P.s. Ricorda che una funzione e' detta limitata in $I$ se esiste $M>0$ tale che $|f(x)|\le M$, per ogni $x\in I$. Il che e' sostanzialmente diverso da quello che te hai dimostrato.
P.s. Ricorda che una funzione e' detta limitata in $I$ se esiste $M>0$ tale che $|f(x)|\le M$, per ogni $x\in I$. Il che e' sostanzialmente diverso da quello che te hai dimostrato.
Grazie a entrambi per le risposte.
Seneca mi ha illuminato con il suo esempio: non avevo preso in considerazione casi simili, che tra l'altro fanno vedere che la mia dimostrazione è sbagliata. Ho fatto davvero un grande errore: pensare che un insieme di valori finiti potesse essere finito, ovvero limitato.
Invece il fatto che il teorema di limitatezza sia (fondamentalmente) equivalente al teorema di Weierstrass mi lascia un pò perplesso Valerio.
Il teorema di limitatezza ammette l'esistenza di estremo superiore e inferiore, mentre il teorema di Weierstrass ammette l'esistenza di massimo e minimo.
Dato un insieme, se esistono max e min allora esistono anche sup e inf.. ma il contrario non è vero: non si può dedurre l'esistenza di max e min da quella di sup e inf. Quindi il teorema di limitatezza non può implicare (e quindi in conclusione, essere equivalente) al teorema di Weierstrass.
O sto sbagliando nuovamente Valerio?
Grazie ancora a tutti e due!
Seneca mi ha illuminato con il suo esempio: non avevo preso in considerazione casi simili, che tra l'altro fanno vedere che la mia dimostrazione è sbagliata. Ho fatto davvero un grande errore: pensare che un insieme di valori finiti potesse essere finito, ovvero limitato.
Invece il fatto che il teorema di limitatezza sia (fondamentalmente) equivalente al teorema di Weierstrass mi lascia un pò perplesso Valerio.
Il teorema di limitatezza ammette l'esistenza di estremo superiore e inferiore, mentre il teorema di Weierstrass ammette l'esistenza di massimo e minimo.
Dato un insieme, se esistono max e min allora esistono anche sup e inf.. ma il contrario non è vero: non si può dedurre l'esistenza di max e min da quella di sup e inf. Quindi il teorema di limitatezza non può implicare (e quindi in conclusione, essere equivalente) al teorema di Weierstrass.
O sto sbagliando nuovamente Valerio?
Grazie ancora a tutti e due!
Ah, dimenticavo di aggiungere una cosa.
Il mio errore e la mia confusione probabilmente derivano da una visione sbagliata della continuità.
Devo invece cercare di tenere bene a mente che:
1) è importante considerare se la funzione è definita in un intervallo chiuso o aperto;
2) la continuità è una proprietà locale.
Credo che questi due siano i punti più importanti da considerare nello studio della continuità, siete d'accordo?
Il mio errore e la mia confusione probabilmente derivano da una visione sbagliata della continuità.
Devo invece cercare di tenere bene a mente che:
1) è importante considerare se la funzione è definita in un intervallo chiuso o aperto;
2) la continuità è una proprietà locale.
Credo che questi due siano i punti più importanti da considerare nello studio della continuità, siete d'accordo?
Federico, hai ragione a puntualizzare, perche' in generale avresti ragione, ma per intervalli del tipo $[a,b]$ i due teoremi (esistenza di estremi superiori e inferiori di una funzione continua e teorema di Weierstrass) sono logicamente equivalenti: il primo usa la completezza e l'altro la compattezza, che sono due proprieta' logicamente equivalenti per spazi metrici totalmente limitati. Insomma quello che sto dicendo in parole complicata e' che IN QUESTO CASO e' vero che "esistenza di estremi superiore" implica "esistenza di massimo".
Grazie mille Valerio, ora è tutto chiaro.
Proprio nella dimostrazione del teorema di Weierstrass fatta sul Marcellini-Sbordone ho trovato una incongruenza relativa a quello di cui parliamo. Essa è molto chiara: la prima parte riguarda il trattamento dell'esistenza dell'estremo superiore.. dopodiché si passa a mostrare che esso è uguale, tramite le proprietà della continuità, ad un valore della funzione stessa e che quindi è anche massimo.
Sarebbe tutto perfetto se non fosse per il fatto che riguardo all'esistenza dell'estremo superiore in una funzione continua su un intervallo chiuso il libro ammette la possibilità che l'estremo superiore sia "+ infinito"!
Ma non può esserci un estremo superiore infinito, altrimenti esisterebbe almeno un punto dell'intervallo chiuso, su cui la funzione è continua, che avrebbe limite infinito e questo andrebbe proprio a contraddire la condizione stessa di continuità della funzione.
Quello che abbiamo detto anche prima: una funzione continua in un intervallo chiuso è limitata.
Oppure sono io che ancora una volta ho capito male tutto?
P.S. - Grazie per la pazienza
Proprio nella dimostrazione del teorema di Weierstrass fatta sul Marcellini-Sbordone ho trovato una incongruenza relativa a quello di cui parliamo. Essa è molto chiara: la prima parte riguarda il trattamento dell'esistenza dell'estremo superiore.. dopodiché si passa a mostrare che esso è uguale, tramite le proprietà della continuità, ad un valore della funzione stessa e che quindi è anche massimo.
Sarebbe tutto perfetto se non fosse per il fatto che riguardo all'esistenza dell'estremo superiore in una funzione continua su un intervallo chiuso il libro ammette la possibilità che l'estremo superiore sia "+ infinito"!
Ma non può esserci un estremo superiore infinito, altrimenti esisterebbe almeno un punto dell'intervallo chiuso, su cui la funzione è continua, che avrebbe limite infinito e questo andrebbe proprio a contraddire la condizione stessa di continuità della funzione.
Quello che abbiamo detto anche prima: una funzione continua in un intervallo chiuso è limitata.
Oppure sono io che ancora una volta ho capito male tutto?
P.S. - Grazie per la pazienza
Guarda, Federico, il teorema di Weierstrass discende come corollario, come conseguenza, dal teorema di compattezza. Una funzione continua tra spazi metrici ( p. es. $f : RR -> RR$ ) manda insiemi compatti in insiemi compatti. In $RR$ (con la distanza euclidea) compatto significa chiuso e limitato.
Sia $f : RR -> RR$ continua e $K subseteq RR$ compatto. Per il teo. di compattezza si ha che $f(K)$ è compatto, quindi $f(K)$ è limitato ( il che significa che $"sup"_(x in K) f(x) in RR$ ) ed è chiuso, cioè il superiore è proprio un massimo.
Chiaro?
Il caso $K = I$ intervallo è semplicemente un caso particolare.
Sia $f : RR -> RR$ continua e $K subseteq RR$ compatto. Per il teo. di compattezza si ha che $f(K)$ è compatto, quindi $f(K)$ è limitato ( il che significa che $"sup"_(x in K) f(x) in RR$ ) ed è chiuso, cioè il superiore è proprio un massimo.
Chiaro?
Il caso $K = I$ intervallo è semplicemente un caso particolare.
Grazie Seneca, semplice ed efficace! ^^
"Seneca":
Ho letto con più attenzione quanto hai scritto tu.
Lasciando da parte quello che ho scritto prima, dire che se una funzione è continua su un intervallo $I$ allora è limitata in $I$ è sbagliato. Prendi $1/x$ in $(0,1]$. Cosa volevi dire esattamente? Ho frainteso?
Invece una funzione da R in R , continua, avente i limiti :
limite per x---> -oo = +oo
limite per x---> +oo = +oo
ha per forza minimo, oppure potrebbe avere l'inf = - oo ?
Grazie
@olanda2000: Si, ammette minimo, questo è un esercizio standard.
"dissonance":
@olanda2000: Si, ammette minimo, questo è un esercizio standard.
O, se vogliamo dare più importanza a questo fatto, lo chiamiamo "teorema di Weierstass generalizzato"
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