Le derivate delle funzioni con salto
Sto leggendo il libro di G.Gilardi Analisi 3, la sezione relativa alle derivate in senso distribuzionale. Si dice, semplificando al massimo, che se una funzione $u\in L_{loc}^1(RR)$ è anche di classe $C^1(RR-{x_0})$, e nel punto $x_0$ ha un salto finito di ampiezza $s$ (*), allora la derivata in senso distribuzionale della $u$ è la derivata classica + $s$ volte la delta di Dirac concentrata in $x_0$. [edit] [size=75]La derivata in senso distribuzionale si intende della $u$ vista come elemento di $D'(RR)$, non di $D'(RR-{x_0})$. [/size]
Tutto bene, ma secondo me manca un'ipotesi: chi glielo ha detto che la derivata classica è una funzione di $L_{loc}^1$, e quindi una distribuzione? Non tutte le funzioni derivabili hanno la derivata integrabile e un esempio è fornito dalla ${(x^2cos(pi/x^2), x!=0), (0, x=0):}$, derivabile ovunque ma con derivata non integrabile in nessun intorno dello $0$ (naturalmente in $0$ la derivata non è continua).
Questo fatto mi pare indispensabile: già nella tesi è assunto implicitamente e inoltre serve pure nella dimostrazione. Ma forse mi sbaglio?
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(*)$u(x_0^{+})-u(x_0^{-})=s$ è un numero finito.
Tutto bene, ma secondo me manca un'ipotesi: chi glielo ha detto che la derivata classica è una funzione di $L_{loc}^1$, e quindi una distribuzione? Non tutte le funzioni derivabili hanno la derivata integrabile e un esempio è fornito dalla ${(x^2cos(pi/x^2), x!=0), (0, x=0):}$, derivabile ovunque ma con derivata non integrabile in nessun intorno dello $0$ (naturalmente in $0$ la derivata non è continua).
Questo fatto mi pare indispensabile: già nella tesi è assunto implicitamente e inoltre serve pure nella dimostrazione. Ma forse mi sbaglio?
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(*)$u(x_0^{+})-u(x_0^{-})=s$ è un numero finito.
Risposte
...si, sembrerebbe mancare qualcosa per escludere casi particolari come il tuo esempio....però sentiamo altri pareri....Ciao
Ma se $u \in C^1(RR\setminus \{x_0\})$, allora non è scontato che $u' \in L_(loc)^1(RR\setminus \{x_0\})$?
Voglio dire, la derivata è continua fuori da $x_0$, quindi hai voglia di integrarla su ogni compatto $K\subset RR\setminus \{ x_0\}$...
Voglio dire, la derivata è continua fuori da $x_0$, quindi hai voglia di integrarla su ogni compatto $K\subset RR\setminus \{ x_0\}$...
@Gugo: Si, hai ragione. Ho aggiunto una postilla al primo post dove questo fatto l'avevo lasciato nel vago.
La cosa è interessante se $u'$ sta in $L_{loc}^1(RR)$. Altrimenti, per esempio, la derivata di $H$ (Heaviside) vista come funzione $L_{loc}^1(RR-{0})$ è banalmente la distribuzione $0$.
P.S.: Ah, e naturalmente la derivata classica si intende definita q.o. .
La cosa è interessante se $u'$ sta in $L_{loc}^1(RR)$. Altrimenti, per esempio, la derivata di $H$ (Heaviside) vista come funzione $L_{loc}^1(RR-{0})$ è banalmente la distribuzione $0$.
P.S.: Ah, e naturalmente la derivata classica si intende definita q.o. .
Il problema che sollevi e' ragionevole, ma mi pare che "in qualche senso" il risultato sia vero - va capito cosa significa
"la derivata classica" vista in $D'$ (in effetti non e' detto che sia una funzione).
Sto facendo dei calcoli "in diretta" e quindi potrei sbagliarmi ma vediamo cosa viene.
Supponiamo che $u$ sia $C^1$ in $RR\setminus {0}$ e che sia continua in zero (elimino il salto ...). Vorrei vedere che "la derivata distribuzionale coincide con quella classica"
Allora per ogni $\phi$ in $D$
$-\int_{RR}u(x)\phi'(x)dx=-\lim_{\epsilon\to0^+}\int_{RR\setminus [-\epsilon,\epsilon]}u(x)\phi'(x)dx$
$\quad =(\lim_{\epsilon\to0^+}\int_{RR\setminus [-\epsilon,\epsilon]}u'(x)\phi(x)dx-u(\epsilon)\phi'(\epsilon)+u(-\epsilon)\phi'(-\epsilon))$
$\quad=\lim_{\epsilon\to0^+}\int_{RR\setminus [-\epsilon,\epsilon]}u'(x)\phi(x)dx$
(nota.: ho usato il valore principale dell'integrale ma avrei potuto prendere $a$ $b$ qualunque al posto di $-\epsilon$ ed $\epsilon$)
Dunque $u'_{class}$ (la derivata classica) definisce una distribuzione, mediante
(*) $ =\lim_{a\to0^-,b\to0^+}\int_{RR\setminus[a,b]}u'_{class}(x)\phi(x)dx$
e tale distribuzione e' la derivata distribuzionale di $u$;
questa distribuzione e' una funzione quando $u'_{class}$ e' in $L_{loc}^1(RR)$, se no e' una distribuzione di ordine uno (essendo derivata di una funzione).
In particolare da (*) segue che la distribuzione $u'$ coincide, nel senso delle distribuzioni, con la funzione $u'_{class}$ in $RR\setminus{0}$. Ma dice di piu' (anche se non so bene come esprimerlo - dice per esempio che non ci sono $delta$ in zero)
EDIT probabilmente tra tutte le distribuzioni $v$ di ordine uno che coincidono con $u'_{class}$ fuori da zero quella definita da (*) e'"quella minima", nel senso che
tutte queste $v$ dovrebbero essere quella definita da (*) piu' $\alpha\delta+\beta\delta'$, con $\alpha$ e $\beta$ costanti. - ma forse sto improvvisando troppo.
"la derivata classica" vista in $D'$ (in effetti non e' detto che sia una funzione).
Sto facendo dei calcoli "in diretta" e quindi potrei sbagliarmi ma vediamo cosa viene.
Supponiamo che $u$ sia $C^1$ in $RR\setminus {0}$ e che sia continua in zero (elimino il salto ...). Vorrei vedere che "la derivata distribuzionale coincide con quella classica"
Allora per ogni $\phi$ in $D$
$-\int_{RR}u(x)\phi'(x)dx=-\lim_{\epsilon\to0^+}\int_{RR\setminus [-\epsilon,\epsilon]}u(x)\phi'(x)dx$
$\quad =(\lim_{\epsilon\to0^+}\int_{RR\setminus [-\epsilon,\epsilon]}u'(x)\phi(x)dx-u(\epsilon)\phi'(\epsilon)+u(-\epsilon)\phi'(-\epsilon))$
$\quad=\lim_{\epsilon\to0^+}\int_{RR\setminus [-\epsilon,\epsilon]}u'(x)\phi(x)dx$
(nota.: ho usato il valore principale dell'integrale ma avrei potuto prendere $a$ $b$ qualunque al posto di $-\epsilon$ ed $\epsilon$)
Dunque $u'_{class}$ (la derivata classica) definisce una distribuzione, mediante
(*) $
e tale distribuzione e' la derivata distribuzionale di $u$;
questa distribuzione e' una funzione quando $u'_{class}$ e' in $L_{loc}^1(RR)$, se no e' una distribuzione di ordine uno (essendo derivata di una funzione).
In particolare da (*) segue che la distribuzione $u'$ coincide, nel senso delle distribuzioni, con la funzione $u'_{class}$ in $RR\setminus{0}$. Ma dice di piu' (anche se non so bene come esprimerlo - dice per esempio che non ci sono $delta$ in zero)
EDIT probabilmente tra tutte le distribuzioni $v$ di ordine uno che coincidono con $u'_{class}$ fuori da zero quella definita da (*) e'"quella minima", nel senso che
tutte queste $v$ dovrebbero essere quella definita da (*) piu' $\alpha\delta+\beta\delta'$, con $\alpha$ e $\beta$ costanti. - ma forse sto improvvisando troppo.
Quindi tu dici: è vero che esistono funzioni con la derivata non $L_{loc}^1$, ma considerando l'integrale in qualche senso esteso (un po' come abbiamo fatto per definire $"pv"1/x$) la derivata si può fare rientrare lo stesso nelle distribuzioni. E questo mi convince.
Una cosa però che non afferro al volo è questa:
Come fai a dire così a bruciapelo che l'ordine della distribuzione è uno? Questo lo abbiamo assodato nell'altro topic riguardo la distribuzione $"pv"1/x$, che difatti è la derivata di $log|x|$ coerentemente con quanto detto qui. Ma in generale...?
Una cosa però che non afferro al volo è questa:
questa distribuzione e' una funzione quando $u'_{class}$ e' in $L_{loc}^1(RR)$, se no e' una distribuzione di ordine uno (essendo derivata di una funzione).
Come fai a dire così a bruciapelo che l'ordine della distribuzione è uno? Questo lo abbiamo assodato nell'altro topic riguardo la distribuzione $"pv"1/x$, che difatti è la derivata di $log|x|$ coerentemente con quanto detto qui. Ma in generale...?
"dissonance":
Quindi tu dici: è vero che esistono funzioni con la derivata non $L_{loc}^1$, ma considerando l'integrale in qualche senso esteso (un po' come abbiamo fatto per definire $"pv"1/x$) la derivata si può fare rientrare lo stesso nelle distribuzioni. E questo mi convince.
Una cosa però che non afferro al volo è questa:
questa distribuzione e' una funzione quando $u'_{class}$ e' in $L_{loc}^1(RR)$, se no e' una distribuzione di ordine uno (essendo derivata di una funzione).
Come fai a dire così a bruciapelo che l'ordine della distribuzione è uno? Questo lo abbiamo assodato nell'altro topic riguardo la distribuzione $"pv"1/x$, che difatti è la derivata di $log|x|$ coerentemente con quanto detto qui. Ma in generale...?
In effetti il valore principale di $1/x$ e' una estensione del risultato detto sopra - probabilmente si puo' dare un risultato piu' generale.
Riguardo all' ordine, non sono sicuro di avere la definizione standard di ordine - io pensavo a:
$u$ e' di ordine $k$ se per ogni aperto $]a,b[$ esiste una costante $M$ tale che $
Forse quella che ho riportato sopra si dovrebbe esprimere dicendo che $u$ e' di ordine $k$ in ogni limitato (riservando l'ordine $k$ tout court al caso in cui c'e' un'unica $M$
per cui la disuguaglianza vale per ogni $\phi$ in $D$). Io comunque a questa nozione di ordine pensavo.
Mi pare ovvio allora che la derivata $k$-esima di una funzione $L_{loc}^1$ sia di ordine $k$ e questo risponde alla domanda (se l'ho capita).
Volendo proseguire nell'analisi, dovrebbe poi essere immediato vedere che una distribuzione di ordine $k$ e' derivata $k$-esima di una distribuzione di ordine zero. Infine le distribuzioni di ordine zero dovrebbero essere le misure di Radon localmente finite (che ovviamente contengono in particolare le funzioni $L_{loc}^1$).
Mi pare anche plausibile il seguente risultato (a cui accennavo alla fine del post precedente).
Sia $u$ una distribuzione tale che
(*) $u$ ha ordine $k$; per ogni $\epsilon>0$ esiste una funzione $u_\epsilon$ in $L_{loc}^1$ tale che $u=u_{\epsilon}$ in $RR\setminus[-\epsilon,\epsilon]$.
Allora per ogni $v$ verificante (*) si ha
(**) esistono $\alpha_0,\alpha_1,...,\alpha_k$ tali che $v-u=\alpha_0\delta+\alpha_1\delta'+...+\alpha_k\delta^{(k)}$.
EDIT
Mi pare cha alla fine, per quanto concerne il risultato sopra, la questione sia
Data $w$ di ordine $k$ a supporto in ${0}$ essa e' una somma del tipo (**).
(che mi apre un esercizio interessante
, a cui se vuoi posso pensare)
Questo chiarisce il mio dubbio di prima - è solo questione di definizioni. (Io pensavo all'ordine di una distribuzione come al minimo delle $k$ per cui $\langle u, phi \rangle<=M_K ||phi||_{C^k}$, dove $"supp"phi \sub K$ e $M_K$ è una costante dipendente da $K$.)
A parte questo, ho provato a pensare all'esercizio da te proposto. Per esempio, l'unica distribuzione $u$ di ordine $0$ che ristretta a $RR\setminus [-epsilon, epsilon]$ sia la distribuzione nulla è -secondo questa congettura- la $delta$? Suona come un'ottima caratterizzazione.
A parte questo, ho provato a pensare all'esercizio da te proposto. Per esempio, l'unica distribuzione $u$ di ordine $0$ che ristretta a $RR\setminus [-epsilon, epsilon]$ sia la distribuzione nulla è -secondo questa congettura- la $delta$? Suona come un'ottima caratterizzazione.
"dissonance":
Questo chiarisce il mio dubbio di prima - è solo questione di definizioni. (Io pensavo all'ordine di una distribuzione come al minimo delle $k$ per cui $\langle u, phi \rangle<=M_K ||phi||_{C^k}$, dove $"supp"phi \sub K$ e $M_K$ è una costante dipendente da $K$.)
Mhh, intendi
$"min"{k\in NN:\forall a (\exists M_a:
Somiglia molto alla mia -per l meno se una distribuzione ha ordine 1 nel mio senso allora lo ha nel tuo - oppure non vedo qualcosa???
EDIT - Forse ho capito: avrei dovuto dire "di ordine minore o eguale a uno" ( o "di ordine minore o eguale a $k$") - questo risollve l'incomprensione?
"dissonance":
A parte questo, ho provato a pensare all'esercizio da te proposto. Per esempio, l'unica distribuzione $u$ di ordine $0$ che ristretta a $RR\setminus [-epsilon, epsilon]$ sia la distribuzione nulla è -secondo questa congettura- la $delta$? Suona come un'ottima caratterizzazione.
Si' dovrebbe essere cosi'. Per dimostrarlo cercherei di vedere che se $u$ e' una tale distribuzione, allora $\phi(0)=0$ implica $
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