Le applicazioni a dominio vuoto
Sia $\emptyset$ l'insieme vuoto. Sia $T$ un qualsivoglia insieme. L'applicazione $f : \emptyset to T$ esiste: infatti, perché sia abbia un'applicazione di $\emptyset$ in $T$ occorre un sottoinsieme di $\emptyset x T$ tale che $\forall x \in \emptyset, \exists! y \in T : y=f(x)$; l'unico possibile sottoinsieme di $\emptyset x T =\emptyset$ è $\emptyset$ e la condizione $\forall x \in \emptyset, \exists! y \in T : y=f(x)$ che equivale a $\forall x, [(x \in \emptyset) => (\exists! y \in T : y=f(x))]$ è verificata semplicemente perché l'antecedente dell'implicazione quantificata da $\forall$ è comunque falso.
Per lo stesso motivo, cioè la falsità di $x \in \emptyset$, l'applicazione $f : \emptyset to T$ è iniettiva (infatti la condizione per la iniettività è $[\forall x_1, x_2 \in \emptyset, (x_1 != x_2) => (f(x_1) != f(x_2))] \equiv \forall x_1, x_2, (x_1, x_2 \in \emptyset)=>[(x_1 != x_2)=>(f(x_1)!=f(x_2))]$).
L'applicazione di $\emptyset$ in $T$ è suriettiva se $T=\emptyset$ non lo è se $T != \emptyset$: infatti, $f(\emptyset)={y \in T : \exists x \in \emptyset : f(x)=y}=\emptyset$ semplicemente perché non esistono $y$ per le quali possa aversi $x \in \emptyset$ perché ciò è sepre falso.
Dette tutte ste belle cose, delle quali non sono poi così sicuro, se non del fatto che le applicazioni a dominio vuoto esistono (ricordo che in un altro topic tempo addietro me lo confermò Martino), è da ieri mattina che mi sto chiedendo quale sia questa unica applicazione di $\emptyset$ in $T$ e sono arrivato alle seguenti conclusioni: se $T = \emptyset$ allora l'unica applicazione possibile è l'identità, se $T != \emptyset$ allora l'unica applicazione possibile è l'inclusione.
Intuitivamente mi son dato queste risposte perché ho pensato che, se l'insieme vuoto non ha elementi, allora devo associare agli elementi del vuoto, che non ci sono, un qualche cosa da un altro insieme, ma sia che questo altro insieme è vuoto o no, non posso associare nulla agli elementi del vuoto diverso dagli elementi del vuoto stesso semplicemente perché gli elementi del vuoto non ce li ho.
Ma questa fantasia che mi sono fatto non mi convince. Potreste illuminarmi?
Per lo stesso motivo, cioè la falsità di $x \in \emptyset$, l'applicazione $f : \emptyset to T$ è iniettiva (infatti la condizione per la iniettività è $[\forall x_1, x_2 \in \emptyset, (x_1 != x_2) => (f(x_1) != f(x_2))] \equiv \forall x_1, x_2, (x_1, x_2 \in \emptyset)=>[(x_1 != x_2)=>(f(x_1)!=f(x_2))]$).
L'applicazione di $\emptyset$ in $T$ è suriettiva se $T=\emptyset$ non lo è se $T != \emptyset$: infatti, $f(\emptyset)={y \in T : \exists x \in \emptyset : f(x)=y}=\emptyset$ semplicemente perché non esistono $y$ per le quali possa aversi $x \in \emptyset$ perché ciò è sepre falso.
Dette tutte ste belle cose, delle quali non sono poi così sicuro, se non del fatto che le applicazioni a dominio vuoto esistono (ricordo che in un altro topic tempo addietro me lo confermò Martino), è da ieri mattina che mi sto chiedendo quale sia questa unica applicazione di $\emptyset$ in $T$ e sono arrivato alle seguenti conclusioni: se $T = \emptyset$ allora l'unica applicazione possibile è l'identità, se $T != \emptyset$ allora l'unica applicazione possibile è l'inclusione.
Intuitivamente mi son dato queste risposte perché ho pensato che, se l'insieme vuoto non ha elementi, allora devo associare agli elementi del vuoto, che non ci sono, un qualche cosa da un altro insieme, ma sia che questo altro insieme è vuoto o no, non posso associare nulla agli elementi del vuoto diverso dagli elementi del vuoto stesso semplicemente perché gli elementi del vuoto non ce li ho.
Ma questa fantasia che mi sono fatto non mi convince. Potreste illuminarmi?
Risposte
Nessuno ha idee?
Ti sei già risposto, una funzione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano.....
Amo gli algebristi perchè riescono con disinvoltura a parlare di certe cose (come un'applicazione definita sull'insieme vuoto) cui un analista non dà quasi mai significato. 
Li amo anche io e li amerei anche di più se riusci a capire perché l'unica applicazione del vuoto in un altro insieme è l'inclusione.
Il fatto che una applicazione sia un sottoinsieme del prodotto cartesiano porta a dire che a dominio vuoto esiste una unica applicazione.
Ma non riesco a capire perché questa è l'inclusione.
A meditare.
P.S.
Commenti, suggerimenti, cazziate, ban sono accetti.
Il fatto che una applicazione sia un sottoinsieme del prodotto cartesiano porta a dire che a dominio vuoto esiste una unica applicazione.
Ma non riesco a capire perché questa è l'inclusione.
A meditare.
P.S.
Commenti, suggerimenti, cazziate, ban sono accetti.
Qualcuno potrebbe spiegarmi perché l'unica applicazione con il dominio vuoto è l'inclusione canonica, se il codominio è non vuoto, oppure l'identità, se il codominio è vuoto.
Il fatto che di applicazioni a dominio vuoto ce ne sia una sola l'ho capito, ma non capisco perché è proprio quella.
Il fatto che di applicazioni a dominio vuoto ce ne sia una sola l'ho capito, ma non capisco perché è proprio quella.
L'unica applicazione con dominio vuoto è l'insieme vuoto.
(ricorda che una funzione è un particolare insieme)
(ricorda che una funzione è un particolare insieme)
Allora, siccome volevi una spiegazione, eccola:
Comincio col notare che se A è un insieme allora $A \times emptyset = emptyset times A = emptyset$. Infatti se esistesse $(a,b) \in emptyset times A$ (per esempio) in particolare dovrebbe essere $a \in emptyset$, assurdo.
Prop: sia A un insieme, e sia $f:emptyset \to A$ una funzione. Allora $f=emptyset$.
Dim: notiamo che $emptyset$ è una funzione $emptyset to A$ perché è un sottoinsieme del prodotto cartesiano $emptyset \times A = emptyset$, e verifica la seguente proprietà:
Per ogni $x \in emptyset$ esiste un unico $y \in A$ tale che $(x,y) \in emptyset$.
Ora dobbiamo mostrare che se $f:emptyset \to A$ allora $f=emptyset$. Per definizione f è un sottoinsieme del prodotto cartesiano $emptyset \times A = emptyset$. Quindi $f=emptyset$ (il vuoto è l'unico sottoinsieme del vuoto).
Comincio col notare che se A è un insieme allora $A \times emptyset = emptyset times A = emptyset$. Infatti se esistesse $(a,b) \in emptyset times A$ (per esempio) in particolare dovrebbe essere $a \in emptyset$, assurdo.
Prop: sia A un insieme, e sia $f:emptyset \to A$ una funzione. Allora $f=emptyset$.
Dim: notiamo che $emptyset$ è una funzione $emptyset to A$ perché è un sottoinsieme del prodotto cartesiano $emptyset \times A = emptyset$, e verifica la seguente proprietà:
Per ogni $x \in emptyset$ esiste un unico $y \in A$ tale che $(x,y) \in emptyset$.
Ora dobbiamo mostrare che se $f:emptyset \to A$ allora $f=emptyset$. Per definizione f è un sottoinsieme del prodotto cartesiano $emptyset \times A = emptyset$. Quindi $f=emptyset$ (il vuoto è l'unico sottoinsieme del vuoto).
Perdona la mia infelicità nell'esprimermi, ma quello che non mi è chiaro non è il perché di applicazioni a dominio vuoto ce ne è una sola o perché questa applicazione è il vuoto stesso, quello che non mi è chiaro è perché il vuto è l'inclusione del vuoto in $A$.
"WiZaRd":
Perdona la mia infelicità nell'esprimermi, ma quello che non mi è chiaro non è il perché di applicazioni a dominio vuoto ce ne è una sola o perché questa applicazione è il vuoto stesso, quello che non mi è chiaro è perché il vuto è l'inclusione del vuoto in $A$.
"Inclusione" vuol dire che ogni elemento è mandato in sé stesso. Allora il vuoto è l'inclusione del vuoto in A perché il vuoto manda ogni elemento in sé stesso (puoi negarlo?)
Infatti per ogni $x \in emptyset$, $(x,x) \in emptyset$.
Era questo che intendevi?
Però così potrei anche dire che per ogni $x \in \emptyset, (x,\frac{x^2 - 1}{3x}) \in \emptyset$: questa non è l'inclusione giusto? Però l'applicazione a dominio vuoto è unica, ma intanto quella non è l'inclusione.
Cos'è che mi sfugge?
Cos'è che mi sfugge?
"WiZaRd":
Però così potrei anche dire che per ogni $x \in \emptyset, (x,\frac{x^2 - 1}{3x}) \in \emptyset$: questa non è l'inclusione giusto?
Sbagliato, quella è l'inclusione. Infatti per ogni $x \in emptyset$, $x=\frac{x^2 - 1}{3x}$.
Devo riflettere un attimo e poi ti faccio sapere!!!
Mi stai dicendo che quella è l'inclusione perché $\forall x \in \emptyset, x=\frac{x^2 - 1}{3x}$.
Io so (fonte: Acerbi - Buttazzo, Primo corso di Analisi) che $\forall x \in \emptyset, x=\frac{x^2 - 1}{3x}$ è la contrazione di $\forall x, (x \in \emptyset => x=\frac{x^2 - 1}{3x})$.
Ora, l'antecedente dell'implicazione quantificata è sempre falso quindi l'implicazione è sempre vera. Questo però non significa che $x=\frac{x^2 - 1}{3x}$: è vera l'implicazione, non l'uguaglianza.
...
Io so (fonte: Acerbi - Buttazzo, Primo corso di Analisi) che $\forall x \in \emptyset, x=\frac{x^2 - 1}{3x}$ è la contrazione di $\forall x, (x \in \emptyset => x=\frac{x^2 - 1}{3x})$.
Ora, l'antecedente dell'implicazione quantificata è sempre falso quindi l'implicazione è sempre vera. Questo però non significa che $x=\frac{x^2 - 1}{3x}$: è vera l'implicazione, non l'uguaglianza.
...
Infatti la cosa che dev'essere vera è l'implicazione, non l'uguaglianza.
Se $A \subseteq B$ sono due insiemi, l'inclusione di A in B è quell'unica funzione $f:A to B$ tale che
$forall a \in A,\ f(a)=a$
ovvero:
$forall a,\ a \in A \Rightarrow f(a)=a$
Questa è un'implicazione, e richiedere che sia vera non implica richiedere che uno tra "$a \in A$" e "$f(a)=a$" sia vero.
Se $A \subseteq B$ sono due insiemi, l'inclusione di A in B è quell'unica funzione $f:A to B$ tale che
$forall a \in A,\ f(a)=a$
ovvero:
$forall a,\ a \in A \Rightarrow f(a)=a$
Questa è un'implicazione, e richiedere che sia vera non implica richiedere che uno tra "$a \in A$" e "$f(a)=a$" sia vero.
Penso di aver capito. Non mi sbilancio più di tanto perché con 38 di febbre potrei anche essere rincoglionito dalla temperatura troppo alta, mo vado a nanna e domani mi ci rimetto sopra. Grazie per tutte le preziose risposte chemi hai fornito. Domani riprendo e se avessi ancora qualche dubbio posterò nella speranza di non annoiarti.
Ancora grazie e buona notte.
Ancora grazie e buona notte.
Notte
Quello che mi lasciava interdetto era il perché l'insieme vuoto fosse l'applicazione di inclusione.
Il mio dubbio nasceva dal fatto che se è vero che $\forall x \in \emptyset, (x,x) \in \emptyset$ allora è anche possibile dire che $\forall x \in \emptyset, (x, x-1) \in \emptyset$. Ma se il dominio è vuoto è anche possibile dire che $\forall x \in \emptyset, f(x)=x$ il che comporta che $\emptyset$ è l'inclusione. Inoltre essendo $\emptyset$ il dominio si può dire che $\forall x \in \emptyset, x=y$ (con $y$ che formalmente è un qualche cosa di diverso da $x$) il che comporta che questa fantomatica applicazione apparentemente non di inclusione coincide con quella di inclusione. E questo è in accordo col fatto che di applicazioni a dominio vuoto ce ne sia una sola.
Questo è quello che ho capito.
Se è così, ti ringrazio per la pazienza e per le risposte.
P.S.
A titolo di cronaca: stamattina 37.7 ° C.
Il mio dubbio nasceva dal fatto che se è vero che $\forall x \in \emptyset, (x,x) \in \emptyset$ allora è anche possibile dire che $\forall x \in \emptyset, (x, x-1) \in \emptyset$. Ma se il dominio è vuoto è anche possibile dire che $\forall x \in \emptyset, f(x)=x$ il che comporta che $\emptyset$ è l'inclusione. Inoltre essendo $\emptyset$ il dominio si può dire che $\forall x \in \emptyset, x=y$ (con $y$ che formalmente è un qualche cosa di diverso da $x$) il che comporta che questa fantomatica applicazione apparentemente non di inclusione coincide con quella di inclusione. E questo è in accordo col fatto che di applicazioni a dominio vuoto ce ne sia una sola.
Questo è quello che ho capito.
Se è così, ti ringrazio per la pazienza e per le risposte.
P.S.
A titolo di cronaca: stamattina 37.7 ° C.
Condivido.
Diciamo che la cosa un po' 'dura' da accettare è che sia possibile attribuire ad ogni proposizione un valore di verità (sia cioè possibile dire se è vera o falsa). Ora non ho mai fatto un corso di logica ma da quello che ho sentito ci sono strutture logiche in cui questo non è vero. Se ci mettiamo nella situazione 'comoda' in cui ogni affermazione è vera oppure falsa, allora tutto funziona bene e siamo contenti.
E a me piace essere contento
Curati, mi raccomando
Diciamo che la cosa un po' 'dura' da accettare è che sia possibile attribuire ad ogni proposizione un valore di verità (sia cioè possibile dire se è vera o falsa). Ora non ho mai fatto un corso di logica ma da quello che ho sentito ci sono strutture logiche in cui questo non è vero. Se ci mettiamo nella situazione 'comoda' in cui ogni affermazione è vera oppure falsa, allora tutto funziona bene e siamo contenti.
E a me piace essere contento
Curati, mi raccomando
Ti riferisci agli enunciati indecidibili, tipo l'ipotesi del continuo nella teoria assiomatica degli insiemi (chiedo scusa se l'ho sparata grossa, ma mi pare di aver letto qualche cosa del genere).
Grazie per l'aiuto come sempre prezioso.
P.S.
Persiste 37.7 ° C. Stasera una botta di vita a base di farmaci
Grazie per l'aiuto come sempre prezioso.
P.S.
Persiste 37.7 ° C. Stasera una botta di vita a base di farmaci
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