Le 2 variabili
Qualcuno di buona volontà mi dovrebbe spiegare il procedimento, o almeno dirmi un sito su cui è spiegato, della ricerca di massimi e minimi nelle funzioni in due variabili ( quelle tridimensionali per intenderci).
Io un pò l'ho capito, ma rimango perplesso su alcune cose.
Io un pò l'ho capito, ma rimango perplesso su alcune cose.
Risposte
Per prima cosa ti calcoli le derivate parziali e le azzeri, ottenendo vari punti.
Poi costruisci la matrice hessiana, e calcoli la matrice nei punti che hai trovato azzerando le derivate (se hai trovato n punti avrai ovviamente n matrici).
Devi decidere se ognuna di queste matrici è definita positiva , definita negativa o indefinita (per intenderci meglio: se tutti gli autovalori sono maggiori di zero il punto che stai considerando è un minimo relativo, se tutti gli autovalori sono minori di zero allora il punto considerato è un massimo relativo, se ci sono almeno due autovalori discordi il punto è una sella, se almeno un autovalore è zero con la matrice hessiana non ci fai niente).
Nel caso la matrice hessiana nel punto (x0,y0) sia singolare devi ricorrere alla definizione di massimo o minimo:
risolvi (ti consiglio per via grafica) l'equazione: f(x, y) >= f(x0, y0)
se è verificata intorno al punto (x0, y0) allora è un massimo, se intorno al punto (x0, y0) si hanno solo - è un minimo, se intorno al punto (x0, y0) si hanno sia + che - allora è una sella.
Prova a guardare qui:
http://www.dii.unisi.it/%7Epapini/dispense/correzione-I-prova05.pdf
Svolgimento esercizio 3
Ciao
Poi costruisci la matrice hessiana, e calcoli la matrice nei punti che hai trovato azzerando le derivate (se hai trovato n punti avrai ovviamente n matrici).
Devi decidere se ognuna di queste matrici è definita positiva , definita negativa o indefinita (per intenderci meglio: se tutti gli autovalori sono maggiori di zero il punto che stai considerando è un minimo relativo, se tutti gli autovalori sono minori di zero allora il punto considerato è un massimo relativo, se ci sono almeno due autovalori discordi il punto è una sella, se almeno un autovalore è zero con la matrice hessiana non ci fai niente).
Nel caso la matrice hessiana nel punto (x0,y0) sia singolare devi ricorrere alla definizione di massimo o minimo:
risolvi (ti consiglio per via grafica) l'equazione: f(x, y) >= f(x0, y0)
se è verificata intorno al punto (x0, y0) allora è un massimo, se intorno al punto (x0, y0) si hanno solo - è un minimo, se intorno al punto (x0, y0) si hanno sia + che - allora è una sella.
Prova a guardare qui:
http://www.dii.unisi.it/%7Epapini/dispense/correzione-I-prova05.pdf
Svolgimento esercizio 3
Ciao
Interessante, ma cos'è un punto critico?
Comunque, non capisco perchè il nostro prof non ha mai parlato di autovalori e autovettori, lui risolveva il tutto azzerando solo le derivate parziali e considerando poi i punti della frontiera.
Comunque, non capisco perchè il nostro prof non ha mai parlato di autovalori e autovettori, lui risolveva il tutto azzerando solo le derivate parziali e considerando poi i punti della frontiera.
Se hai anche una frontiera da considerare il discorso può esser diverso, anzi lo è. Puoi fare principalmente in due modi:
Se riesci a trovare l'equazione cartesiana del bordo che descriva il comportamento di una variabile in funzione dell'altra allora lo fai e poi sostituisci l'espressione nella funzione da masimizzare( es. $x-y+1=0=>y=x+1$).
Poi c'è il classico modo dei moltiplicatori di Lagrange.
Detto nel modo più semplice si ha di solito la funzione del bordo data in forma: $g(x,y)=0$ e la funzione da massimizzare $f(x,y)$.
Bisogna alora creare una nuova funzione $\phi(x,y,lambda)=f(x,y)+lambdag(x,y)$ e poi imporre: $\phi(x,y,lambda)=0$
Uscirà poi alla fine un sistema simile:
${({\partial}/{partialx}\phi=0),({\partial}/{partialy}\phi=0),({\partial}/{partial\lambda}\phi=0):}$
questo se abbiamo superfici di dimensione 2 in $RR^3$
In generale se la dimensione fosse $n$ bisognerebbe ricorrere ad $n-1$ moltplicatori (tipo $\lambda$).
Ps: un punto singolare si ha quando il determinante della matrice hessiana calcolato in quel punto risulta nullo.
Se riesci a trovare l'equazione cartesiana del bordo che descriva il comportamento di una variabile in funzione dell'altra allora lo fai e poi sostituisci l'espressione nella funzione da masimizzare( es. $x-y+1=0=>y=x+1$).
Poi c'è il classico modo dei moltiplicatori di Lagrange.
Detto nel modo più semplice si ha di solito la funzione del bordo data in forma: $g(x,y)=0$ e la funzione da massimizzare $f(x,y)$.
Bisogna alora creare una nuova funzione $\phi(x,y,lambda)=f(x,y)+lambdag(x,y)$ e poi imporre: $\phi(x,y,lambda)=0$
Uscirà poi alla fine un sistema simile:
${({\partial}/{partialx}\phi=0),({\partial}/{partialy}\phi=0),({\partial}/{partial\lambda}\phi=0):}$
questo se abbiamo superfici di dimensione 2 in $RR^3$
In generale se la dimensione fosse $n$ bisognerebbe ricorrere ad $n-1$ moltplicatori (tipo $\lambda$).
Ps: un punto singolare si ha quando il determinante della matrice hessiana calcolato in quel punto risulta nullo.
Per determinare i punti di massimo e minimo relativo di una funzione di più variabili non è necessario ricorrere alla ricerca degli autovalori della matrice Hessiana.
Una volta determinati i punti critici della funzione, interni al dominio, cioè quelli che annullano il vettore gradiente e quindi tutte le derivate parziali sono nulle, calcola allora l' hessiano nei vari punti critici diciamo in $ (x_0,y_0) $ .
Indico con $H(x_0,y_0) $ l'hessiano relativo al punto critico $ (x_0,y_0) $.
Si hanno 4 casi
a)$H(x_0,y_0) > 0; (d^2f(x_0,y_0))/dx^2 > 0 $ Il punto è di MINIMO RELATIVO .
b) $ H(x_0,y_0) > 0 ; (d^2f(x_0,y_0))/dx^2 < 0 $ il punto è di MASSIMO RELATIVO
c) $H(x_0,y_0) < 0 $ il punto è di SELLA .
d) $H(x_0,y_0) = 0 $ nulla si sa e si deve indagare studiando la funzione localmente nell'intorno di $ ( x_0,y_0) $.
Camillo
Una volta determinati i punti critici della funzione, interni al dominio, cioè quelli che annullano il vettore gradiente e quindi tutte le derivate parziali sono nulle, calcola allora l' hessiano nei vari punti critici diciamo in $ (x_0,y_0) $ .
Indico con $H(x_0,y_0) $ l'hessiano relativo al punto critico $ (x_0,y_0) $.
Si hanno 4 casi
a)$H(x_0,y_0) > 0; (d^2f(x_0,y_0))/dx^2 > 0 $ Il punto è di MINIMO RELATIVO .
b) $ H(x_0,y_0) > 0 ; (d^2f(x_0,y_0))/dx^2 < 0 $ il punto è di MASSIMO RELATIVO
c) $H(x_0,y_0) < 0 $ il punto è di SELLA .
d) $H(x_0,y_0) = 0 $ nulla si sa e si deve indagare studiando la funzione localmente nell'intorno di $ ( x_0,y_0) $.
Camillo
Ragazzi, ho letto i vostri consigli e ho provato qualche esercizio, però, mi sono incartato in questo:
f(x)=x^2y+y^2 vincolata in una quadrato col centro nell'origine e lato 2 (quindi il I vertice ad esempio è (1,1).
secondo me i risultati sono sballati per il max dice che il min è -1/4 e il max è 2, ma io il massimo me lo trovo uguale a 1 sui punti (0,1) e (0,-1).
Un altra cosa, qualcuno sa che significa min[x;y]=2, oppure cos'è max[|x|;|y|]<=1? Sono mica massimi e minimi condizionati?
f(x)=x^2y+y^2 vincolata in una quadrato col centro nell'origine e lato 2 (quindi il I vertice ad esempio è (1,1).
secondo me i risultati sono sballati per il max dice che il min è -1/4 e il max è 2, ma io il massimo me lo trovo uguale a 1 sui punti (0,1) e (0,-1).
Un altra cosa, qualcuno sa che significa min[x;y]=2, oppure cos'è max[|x|;|y|]<=1? Sono mica massimi e minimi condizionati?
Prima di tutto i punti singolari della frontiera sono (-1,-1) (1,1) (-1,1) (1, -1)
f(1,1) = f(1,-1) = f(-1,1) = f(-1,-1) = 2
Questi sono i valori che la funzione assume nei punti singolari della frontiera.
Studiamo ora le derivate prime:
df/dx=2x df/dy=2y
Il gradiente si azzera dunque in (0,0) e inoltre f(0,0)=0, questo è un punto di minimo
La frontiera è composta da quattro rette: x=+-1 e y=+-1
Restringiamoci alle rette x=-+1 (in questo caso dato che nella funzione c'è x^2 le posso studiare insieme, tanto non cambia niente...)
f(+-1,y)=1+y^2
Otteniamo così una funzione di una variabile:
f' = 2y che si annulla in y=0 e questo è un minimo, inoltre f(+-1,0)=1
restringiamoci alle rette y=+-1
f(x,+-1)=x^2+1
f'=2x si annulla per x=0 ed è un punto di minimo, inoltre f(0, +-1) = 1
Di tutti i punti studiati quelli che assumono valore maggiore sono (1,1) (1,-1) (-1,1) (-1,-1) questi sono i massimi assoluti.
Il punto che ha valore minore è (0,0), questo è il minimo assoluto.
Almeno io lo risolverei così...
f(1,1) = f(1,-1) = f(-1,1) = f(-1,-1) = 2
Questi sono i valori che la funzione assume nei punti singolari della frontiera.
Studiamo ora le derivate prime:
df/dx=2x df/dy=2y
Il gradiente si azzera dunque in (0,0) e inoltre f(0,0)=0, questo è un punto di minimo
La frontiera è composta da quattro rette: x=+-1 e y=+-1
Restringiamoci alle rette x=-+1 (in questo caso dato che nella funzione c'è x^2 le posso studiare insieme, tanto non cambia niente...)
f(+-1,y)=1+y^2
Otteniamo così una funzione di una variabile:
f' = 2y che si annulla in y=0 e questo è un minimo, inoltre f(+-1,0)=1
restringiamoci alle rette y=+-1
f(x,+-1)=x^2+1
f'=2x si annulla per x=0 ed è un punto di minimo, inoltre f(0, +-1) = 1
Di tutti i punti studiati quelli che assumono valore maggiore sono (1,1) (1,-1) (-1,1) (-1,-1) questi sono i massimi assoluti.
Il punto che ha valore minore è (0,0), questo è il minimo assoluto.
Almeno io lo risolverei così...
Grazie tipper sto iniziando a capire, però, sempre che tu ne abbia voglia, avrei qualche altra domanda:
Perchè i vertici del quadrato anche se non annullano nessuna derivata parziale sono dei massimi? E, poi, la funzione non ha minimi lungo tutto l'asse delle x e quello delle y? (0,0) è il minimo assoluto perchè è l'unico valore in cui si annullano le derivate parziali? La derivata parziale df/dx di x^2y non è 2xy?
Perchè i vertici del quadrato anche se non annullano nessuna derivata parziale sono dei massimi? E, poi, la funzione non ha minimi lungo tutto l'asse delle x e quello delle y? (0,0) è il minimo assoluto perchè è l'unico valore in cui si annullano le derivate parziali? La derivata parziale df/dx di x^2y non è 2xy?
Azz ho letto male il testo...
Quello che ti ho postato io vale per questa funzione f(x,y) = x^2 + y^2 (questo è il testo che avevo considerato)
Per la funzione che hai postato tu cambiano un po' di cose, anche se sostanzialmente il procedimento è lo stesso.
Per quanto riguarda i vertici del quadrato questi sono degli spigoli, dei punti di non derivabilità, quindi vanno considerati e va calcolato il valore che la funzione assume su di essi (essendo dei punti di non derivabilità non potresti trovarli azzerando le derivate...)
(0,0) è il punto in cui si annulla il gradiente, ed è un punto da considerare perché è interno al quadrato (questo vale per x^2+y^2)
Per quanto riguarda la derivata è come dici tu (io avevo fatto la derivata di x^2)
Prova a fare lo studio da solo, se hai difficoltà chiedi pure
Quello che ti ho postato io vale per questa funzione f(x,y) = x^2 + y^2 (questo è il testo che avevo considerato)
Per la funzione che hai postato tu cambiano un po' di cose, anche se sostanzialmente il procedimento è lo stesso.
Per quanto riguarda i vertici del quadrato questi sono degli spigoli, dei punti di non derivabilità, quindi vanno considerati e va calcolato il valore che la funzione assume su di essi (essendo dei punti di non derivabilità non potresti trovarli azzerando le derivate...)
(0,0) è il punto in cui si annulla il gradiente, ed è un punto da considerare perché è interno al quadrato (questo vale per x^2+y^2)
Per quanto riguarda la derivata è come dici tu (io avevo fatto la derivata di x^2)
Prova a fare lo studio da solo, se hai difficoltà chiedi pure
Va bene, punti di non derivabilità... come i cuspidi. Mi viene in mente la funzione f(x)=|x|.
Insomma, non derivabilità. Va beh, credo che con questa dritta possa riuscire finalmente a sbrogliare il problema!
Insomma, non derivabilità. Va beh, credo che con questa dritta possa riuscire finalmente a sbrogliare il problema!
"Tipper":
Per quanto riguarda i vertici del quadrato questi sono degli spigoli, dei punti di non derivabilità, quindi vanno considerati e va calcolato il valore che la funzione assume su di essi (essendo dei punti di non derivabilità non potresti trovarli azzerando le derivate...)
Questo non e' del tutto giusto. Una cosa e' la regolarita' della funzione un'altra quella del dominio. La tua funzione e' perfettamente derivabile in ogni punto, quindi anche negli spigoli del quadrato...
Il motivo per cui vanno considerati e' un altro. Pensa a cosa fai per trovare il max:
1. Guardi se ci sono massimi interni al dominio.
2. Studi la funzione sul bordo
Quando studi la funzione sul bordo devi studiare, in realta', la restrizione della funzione a ciascuno dei quattro lati(*). Quindi il problema diventa: trovare i massimi sul dominio "lato". Ma anche qui dopo aver cercato massimi interni devi guardare cosa succede sul bordo! Il bordo di un lato e' costituito dai due vertici che lo delimitano per cui devi guardare il valore della funzione nei vertici.
---------------------------------------------------------
(*) in realta' e' possibile anche restringere la funzione ponendo:
$(x,y) = vec f(\tau) $
Dove $f$ e' una parametrizzazione dell'intero quadrato...
OK, ma come faccio a capire se i vertici sono punti di minimo o di massimo? Cioè, quei punti non annullano le derivate della funzione ristretta, e io che ne so che non sono semplici punti della funzione? Mi è venuto il mente il caso del cubo, i vertici del cubo non sono ne max ne min, quindi, in questo caso, sbaglierei a considerarli solo perchè estremi del bordo.
Forse, gli estremi del bordo li consideriamo solo se la funzione in quel punto è diversa da zero, o se assume un min assoluto o un max assoluto?
Forse, gli estremi del bordo li consideriamo solo se la funzione in quel punto è diversa da zero, o se assume un min assoluto o un max assoluto?
Tu ti calcoli i valori che assume la funzione nei punti singolari, poi li confronti con tutti gli altri valori trovati (ovviamente il valore più piccolo sarà il minimo mentre quello più grande sarà il massimo 
)
)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo