Lavoro E Circuitazione
Salve a tutti,
ho trovato un esempio sul mio libro di Analisi 2 in cui calcolava la circuitazione di una circonferenza di raggio $1$ e centro l'origine parametrizzata con seno e coseno.
Il risultato è proprio la lunghezza della circonferenza ossia $2\pi$.
Ora, queste due affermazioni sono vere?
- la circuitazione è per definizione il lavoro su di una curva chiusa;
- il lavoro è quel numero che viene fuori percorrendo l'intera circonferenza, ossia il perimetro di essa (in questo esempio,
o comunque il percorso di una qualsiasi curva ossia la traiettoria).
In questo esempio il lavoro non dovrebbe essere nullo? Parto da zero e faccio un giro di circonferenza e ritorno al punto di partenza.
Grazie.
ho trovato un esempio sul mio libro di Analisi 2 in cui calcolava la circuitazione di una circonferenza di raggio $1$ e centro l'origine parametrizzata con seno e coseno.
Il risultato è proprio la lunghezza della circonferenza ossia $2\pi$.
Ora, queste due affermazioni sono vere?
- la circuitazione è per definizione il lavoro su di una curva chiusa;
- il lavoro è quel numero che viene fuori percorrendo l'intera circonferenza, ossia il perimetro di essa (in questo esempio,
o comunque il percorso di una qualsiasi curva ossia la traiettoria).
In questo esempio il lavoro non dovrebbe essere nullo? Parto da zero e faccio un giro di circonferenza e ritorno al punto di partenza.
Grazie.
Risposte
L'intuizione fisica è molto fuorviante in questo contesto. Abbandonala.
La circuitazione di un campo vettoriale $F$ è l'operazione di integrazione di $F$ lungo una curva chiusa, ovvero lungo l'immagine di una funzione continua $S^1 \to RR^n$, nel senso dell'integrale (in una dimensione)
\[
\mathbf{c}_\gamma(F)=\int_0^{2\pi} F(\gamma(t))\cdot \dot\gamma(t)dt
\] quindi non ha senso dire circuitazione "di" $gamma$ quanto piuttosto circuitazione "lungo" $\gamma$.
Al di là di una questione terminologica, però, c'è il fatto che non è sempre vero che \(\mathbf{c}_\gamma(F)=0\); ci sono esempi di campi che non sono conservativi, ad esempio (ed è l'esempio standard)
\[
F(x,y) = \frac{(-y,x)}{x^2+y^2}
\] dato che come ti sarà facile dimostrare \(\mathbf{c}_{S^1}(F)=2\pi\).
Il grande problema a monte di tutto ciò è la tendenza (portata avanti da ingegneri, fisici e altre persone poco raccomandabili) di usare il linguaggio di quelli che sono chiamati "campi vettoriali" e che in più propriamente dovrebbero essere detti forme differenziali.
La circuitazione di un campo vettoriale $F$ è l'operazione di integrazione di $F$ lungo una curva chiusa, ovvero lungo l'immagine di una funzione continua $S^1 \to RR^n$, nel senso dell'integrale (in una dimensione)
\[
\mathbf{c}_\gamma(F)=\int_0^{2\pi} F(\gamma(t))\cdot \dot\gamma(t)dt
\] quindi non ha senso dire circuitazione "di" $gamma$ quanto piuttosto circuitazione "lungo" $\gamma$.
Al di là di una questione terminologica, però, c'è il fatto che non è sempre vero che \(\mathbf{c}_\gamma(F)=0\); ci sono esempi di campi che non sono conservativi, ad esempio (ed è l'esempio standard)
\[
F(x,y) = \frac{(-y,x)}{x^2+y^2}
\] dato che come ti sarà facile dimostrare \(\mathbf{c}_{S^1}(F)=2\pi\).
Il grande problema a monte di tutto ciò è la tendenza (portata avanti da ingegneri, fisici e altre persone poco raccomandabili) di usare il linguaggio di quelli che sono chiamati "campi vettoriali" e che in più propriamente dovrebbero essere detti forme differenziali.
Il fatto è questo: in molti esercizi si eguaglia il lavoro lungo una curva alla formula di Green tenendo presente che il lavoro è il "perimetro della curva" e Green invece è usato per l'area. Non capisco..
Cosa non capisci? Il teorema di Green è un caso particolare di quello di Stokes, che fa esattamente questo:
\[
\int_S d\omega = \int_{\partial S}\omega
\]
\[
\int_S d\omega = \int_{\partial S}\omega
\]
Secondo me il problema è molto più di base. @davicos: Si fa la circuitazione di un campo vettoriale, o di una forma differenziale, NON HA SENSO dire "la circuitazione di \(\gamma\)". Questo lo ha detto anche KB ma lo sottolineo perché secondo me è proprio qui che caschi
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