Lavoro campo vettoriale lungo una curva
Salve a tutti, vi espongo in breve il problema che devo risolvere e i PROBLEMI che mi ostacolano.
Siano dati un campo vettoriale $ vec F( x, y, z ) = ( x + y, - 2y, z )$ ed una curva $C:{z=x^2+y^2, z=1-3x}$ .
Primo dubbio: C come si ricava ? E' corretto dire che sia $(x+3/2)^2+y^2=13/4$ posta nel piano $z=0$ ?
A questo punto, supponendo che sia corretto ciò che ho scritto sopra, potrei parametrizzare C come segue :
$delS( t ) = ( - 3/2 + sqrt(13)/2\cos t, sqrt(13)/2\sin t, 0 ) ... t ∈ [ 0, 2\pi )$
Dunque l'esercizio mi chiede di calcolare il lavoro di F lungo $C ≡ delS$ percorsa nel verso antiorario se vista
dall'alto prima applicando la definizione e in seguito, come verifica, applicando il teorema del rotore (o di Stokes).
E qui vi mostro come ho impostato gli integrali in entrambi i casi e mi piacerebbe che mi venga indicato
ove sbaglio, infatti i due integrali mi risultato diversi.
1) Tramite definizione: $ℒ(vec F)=\int_{del^{+}S( t )} vec F * dvecs = \int_{0}^{2\pi} vec F(delS( t )) * delS'( t )dt = ... = - 13/4 \pi$
2) Con teorema di Stokes: $ℒ(vec F)=\int_{del^{+}S( t )} vec F * hattds = \int int_{S} rot(vec F)* hat n dS = \int int_{D} (nabla \wedge vec F( S( rho, theta ) ) )* ((delS)/(delrho) \wedge (delS)/(deltheta))d rho d theta = ... = 0$
dove: $S ≡ D = ( - 3/2 + rho\cos theta, rho\sin theta, 0 ) ... per (rho,theta)∈[0, sqrt(13)/2] x [0, 2\pi)$
Ho forti dubbi chiaramente sul coincidere di S con D però sinceramente non vedo come altro fare.
Mi potreste illuminare ? Grazie Mille
Siano dati un campo vettoriale $ vec F( x, y, z ) = ( x + y, - 2y, z )$ ed una curva $C:{z=x^2+y^2, z=1-3x}$ .
Primo dubbio: C come si ricava ? E' corretto dire che sia $(x+3/2)^2+y^2=13/4$ posta nel piano $z=0$ ?
A questo punto, supponendo che sia corretto ciò che ho scritto sopra, potrei parametrizzare C come segue :
$delS( t ) = ( - 3/2 + sqrt(13)/2\cos t, sqrt(13)/2\sin t, 0 ) ... t ∈ [ 0, 2\pi )$
Dunque l'esercizio mi chiede di calcolare il lavoro di F lungo $C ≡ delS$ percorsa nel verso antiorario se vista
dall'alto prima applicando la definizione e in seguito, come verifica, applicando il teorema del rotore (o di Stokes).
E qui vi mostro come ho impostato gli integrali in entrambi i casi e mi piacerebbe che mi venga indicato
ove sbaglio, infatti i due integrali mi risultato diversi.
1) Tramite definizione: $ℒ(vec F)=\int_{del^{+}S( t )} vec F * dvecs = \int_{0}^{2\pi} vec F(delS( t )) * delS'( t )dt = ... = - 13/4 \pi$
2) Con teorema di Stokes: $ℒ(vec F)=\int_{del^{+}S( t )} vec F * hattds = \int int_{S} rot(vec F)* hat n dS = \int int_{D} (nabla \wedge vec F( S( rho, theta ) ) )* ((delS)/(delrho) \wedge (delS)/(deltheta))d rho d theta = ... = 0$
dove: $S ≡ D = ( - 3/2 + rho\cos theta, rho\sin theta, 0 ) ... per (rho,theta)∈[0, sqrt(13)/2] x [0, 2\pi)$
Ho forti dubbi chiaramente sul coincidere di S con D però sinceramente non vedo come altro fare.
Mi potreste illuminare ? Grazie Mille
Risposte
Quella curva è l'intersezione tra un paraboloide e un piano, e dubito stia tutta sul piano $z=0$.
Per ricavarne una parametrizzazione si comincia come hai fatto tu ma si finisce col porre la coordinata $z = 1 - 3(-3/2 + sqrt(13)/2 cost) $, capito perchè vero?
Per ricavarne una parametrizzazione si comincia come hai fatto tu ma si finisce col porre la coordinata $z = 1 - 3(-3/2 + sqrt(13)/2 cost) $, capito perchè vero?
"Giuly19":
Quella curva è l'intersezione tra un paraboloide e un piano, e dubito stia tutta sul piano $z=0$.
Per ricavarne una parametrizzazione si comincia come hai fatto tu ma si finisce col porre la coordinata $z = 1 - 3(-3/2 + sqrt(13)/2 cost) $, capito perchè vero?
Vedi, con questo mi rendo conto che ho meritato di essere stata segata all'ultimo appello.
Il fatto è che quando non ho ben chiara la situazione tendo ad inventare -.-" (me l'ha detto pure il prof
)Bene, allora il primo dubbio è ok, ma comunque sia, la seconda parte non torna.
Nel senso che, supponendo che la curva data sia quella che ho trovato SBAGLIANDO, i risultati dovrebbero
comunque coincidere. Sapresti dirmi dove sbaglio anche lì ?
Grazie mille in ogni caso
Perchè i risultati dovrebbero coincidere?
"Giuly19":
Perchè i risultati dovrebbero coincidere?
Calcolare il lavoro tramite la definizione o con il teorema di Stokes è la stessa cosa !
O no ?
Ah sì certo, non avevo capito cosa intendessi.
Comunque se scrivi i conti magari ti dico dove sbagli, è impossibile che non torni!
Comunque se scrivi i conti magari ti dico dove sbagli, è impossibile che non torni!
Scrivere proprio tutto domani mattina sarei ancora qui.
Vedi se da qui si capisce l'errore (sono rispettivamente il proseguo dei puntini sopra) :
1) Definizione: ... = http://www.wolframalpha.com/input/?i=In ... 2+Pi%7D%5D
2) Stokes: ... = http://www.wolframalpha.com/input/?i=In ... +Pi%7D+%5D
Vedi se da qui si capisce l'errore (sono rispettivamente il proseguo dei puntini sopra) :
1) Definizione: ... = http://www.wolframalpha.com/input/?i=In ... 2+Pi%7D%5D
2) Stokes: ... = http://www.wolframalpha.com/input/?i=In ... +Pi%7D+%5D
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