Lavoro
Calcolare il lavoro del campo vettoriale $ \barF=\frac{(x,y)}{x^2+y^2} $ lungo l'arco di parabola $ y=x^2,x\in[-1,1] $. Sono riuscito a calcolarlo ma la curva non è tutta contenuta nell'insieme $ \Omega={(x,y):x^2+y^2>0}=R^2-{(0,0)} $ di definizione di $ \barF $. E' possibile?
Risposte
Ciao TS778LB,
Non si capisce bene l'espressione del campo vettoriale, immagino che tu intenda che sia il seguente:
$ \bar F(x, y) = (F_1(x,y), F_2(x, y)) = (\frac{x}{x^2+y^2}, \frac{y}{x^2+y^2}) $
Se è così è conservativo, dato che è il gradiente della funzione $ \bar U(x, y) = 1/2 ln(x^2 + y^2) $
Non si capisce bene l'espressione del campo vettoriale, immagino che tu intenda che sia il seguente:
$ \bar F(x, y) = (F_1(x,y), F_2(x, y)) = (\frac{x}{x^2+y^2}, \frac{y}{x^2+y^2}) $
Se è così è conservativo, dato che è il gradiente della funzione $ \bar U(x, y) = 1/2 ln(x^2 + y^2) $
Ciao 
Sisi, l'espressione del campo è quella. Si ho anche verificato la conservativitá. Il mio dubbio riguarda il fatto che il punto (0,0) che fa parte del cammino, non appartiene all'insieme di definizione né del campo nè del suo potenziale.
Sisi, l'espressione del campo è quella. Si ho anche verificato la conservativitá. Il mio dubbio riguarda il fatto che il punto (0,0) che fa parte del cammino, non appartiene all'insieme di definizione né del campo nè del suo potenziale.
"TS778LB":
Sono riuscito a calcolarlo ...
Se hai calcolato il seguente integrale:
$\int_{-1}^{1}(t+1)/(1+t^2)dt=\int_{-1}^{1}1/(1+t^2)dt=2\int_{0}^{1}1/(1+t^2)dt=\pi/2$
nessun problema.
@anonymous_0b37e9
Possibile che abbia un "colpo di mona" (come si dice dalla mie parti) ma il buon @pilloeffe ha mostrato che è un campo conservativo: quindi qualsiasi tragitto da (-1,1) a (1,1) richiede il medesimo lavoro e $U(1,1)-U(-1,1)=0$
Cosa mi sfugge?
Possibile che abbia un "colpo di mona" (come si dice dalla mie parti) ma il buon @pilloeffe ha mostrato che è un campo conservativo: quindi qualsiasi tragitto da (-1,1) a (1,1) richiede il medesimo lavoro e $U(1,1)-U(-1,1)=0$
Cosa mi sfugge?
Se il punto singolare appartiene alla curva, non è possibile procedere mediante il potenziale. Basti pensare al calcolo del lavoro per:
oppure per:
Vero è che formalizzare il caso generale non mi sembra banale. Io, per stare dalla parte dei bottoni, calcolerei sempre la circuitazione esplicitamente.
$-1 lt= x lt= 0$
oppure per:
$0 lt= x lt= 1$
Vero è che formalizzare il caso generale non mi sembra banale. Io, per stare dalla parte dei bottoni, calcolerei sempre la circuitazione esplicitamente.
Ma nessun problema!
Faccio un esempio semplice semplice, sugli integrali normali, dritti (niente integrali di linea, niente campi vettoriali, proprio siamo all'ABC):
$\int_{-1}^{1}(1/t^2) dt = F(1) - F(-1)$
Dove $F$ è una qualsiasi primitiva di $1/t^2$, ad esempio $F(t) = - 1/t$.
E quindi $F(1)-F(-1)=-1+1=0$
Peccato che...
- è un po' difficile provare la correttezza della prima uguaglianza scritta in questo post
- oltretutto, anche $G$ è una primitiva, essendo $G(t)= -1/t $ per $t<0$ e $G(t)= 3421-1/t$ per $t>0$. Notare che $G(1)-G(-1)= 3420+1=3421$, e mi sa che $3421$ non è uguale a $0$
Faccio un esempio semplice semplice, sugli integrali normali, dritti (niente integrali di linea, niente campi vettoriali, proprio siamo all'ABC):
$\int_{-1}^{1}(1/t^2) dt = F(1) - F(-1)$
Dove $F$ è una qualsiasi primitiva di $1/t^2$, ad esempio $F(t) = - 1/t$.
E quindi $F(1)-F(-1)=-1+1=0$
Peccato che...
- è un po' difficile provare la correttezza della prima uguaglianza scritta in questo post
- oltretutto, anche $G$ è una primitiva, essendo $G(t)= -1/t $ per $t<0$ e $G(t)= 3421-1/t$ per $t>0$. Notare che $G(1)-G(-1)= 3420+1=3421$, e mi sa che $3421$ non è uguale a $0$
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