Laplaciano scalare
Salve a tutti. Avrei dei dubbi riguardo il calcolo del laplaciano scalare. MI spiego meglio: ciò che devo fare è ricavare la scrittura del laplaciano scalare per risolvere le equazioni di Maxwell con i potenziali. Sui miei appunti trovo scritto che in coordinate sferiche il laplaciano per una funzione scalare di calcola in questo modo:
Qualcuno gentilmente sa spiegarmi come si ricava? Vorrei evitare di ricordarla a memoria.
Io so che il laplaciano è la somma delle derivate parziali seconde: $ \nabla^2=(del^2)/(delx^2)+ (del^2)/(dely^2)+ (del^2)/(delz^2)$. In generale io ho un potenziale vettore che indico con $\bar A$ definito nello spazio tridimensionale, quindi sarà fatto in questo modo $\bar A=(A_x,A_y,A_z)$. Avendo definito una sorgente di corrente impulsiva diretta solo lungo l'asse z cioè $\bar J=J_0\delta(\bar r)\hat i_z$ allora ricavo che le equazioni per i potenziali si riducono ad una sola equazione che è $\nabla^2 \bar A_z + K^2 \bar A_z=-\muJ_0\delta(\bar r)$. Poi trovo scritto che in coordinate sferiche mi viene che il laplaciano si scrive in quel modo, ma come lo ricavo?
Grazie in anticipo
Qualcuno gentilmente sa spiegarmi come si ricava? Vorrei evitare di ricordarla a memoria.
Io so che il laplaciano è la somma delle derivate parziali seconde: $ \nabla^2=(del^2)/(delx^2)+ (del^2)/(dely^2)+ (del^2)/(delz^2)$. In generale io ho un potenziale vettore che indico con $\bar A$ definito nello spazio tridimensionale, quindi sarà fatto in questo modo $\bar A=(A_x,A_y,A_z)$. Avendo definito una sorgente di corrente impulsiva diretta solo lungo l'asse z cioè $\bar J=J_0\delta(\bar r)\hat i_z$ allora ricavo che le equazioni per i potenziali si riducono ad una sola equazione che è $\nabla^2 \bar A_z + K^2 \bar A_z=-\muJ_0\delta(\bar r)$. Poi trovo scritto che in coordinate sferiche mi viene che il laplaciano si scrive in quel modo, ma come lo ricavo?
Grazie in anticipo
Risposte
È stato chiesto varie volte sul forum, prova a fare una ricerca. Se sai cos'è un tensore metrico puoi usare una formula generale (ma poi ti tocca ricordare la formula generale), altrimenti ti tocca fare i conti partendo dalle equazioni \(x=r\cos\theta \cos\phi, y= \ldots\)
Ciao dissonance. Chiedo scusa ma ho cercato e nonho trovato esattamente ciò che cercavo e dunque ho postato. Credo che magari partendo dalle sostituzioni che stavi scrivendo possa partire. Bisognerebbe scrivere $A_z(r cos(\theta)cos(\phi), ...)$ e farne le derivate parziali seconde giusto? Mi dispiace ma nel corso di campi elettroamgnetici non è stato introdotto questo concetto di tensore metrico quindi non so di cosa parli. In ogni caso come procedo? Faccio quelle sostituzioni e poi le derivate come le calcolo? Grazie per la risposta.
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