Laplaciano in coordinate polari

[fireball1]

Dato un campo scalare $f:RR^2->RR$, "sufficientemente regolare", come si fa ad esprimere il suo laplaciano
in coordinate polari? Io sono arrivato a dire che $(delf)/(delx)=(delf)/(delrho)costheta-(delf)/(rhodeltheta)sintheta$,
intanto mi dite se questo è corretto? Se è giusto, ora occorrerebbe derivare entrambi i membri rispetto
a $x$, questo significa che il secondo membro deve essere derivato rispetto a $rhocostheta$, come si fa?
Il risultato finale dev'essere: $Deltaf(rho,theta)=(del^2f)/(delrho^2)+1/rho^2 (del^2f)/(deltheta^2)+1/rho (delf)/(delrho)...

[_luca.barletta]

Calcolerei separatamente il gradiente di f e la divergenza di f, poi le combinerei

[fireball1]

Ok, provo così... Grazie Luca!

[fireball1]

Ma il calcolo di $(delf)/(delx)$ è corretto?

[_luca.barletta]

no, considera: $(delf)/(delx)=(delf)/(delrho)(delrho)/(delx)+(delf)/(deltheta)(deltheta)/(delx)$

[fireball1]

Il libro diceva di esprimere la derivata di f rispetto a x in funzione di $rho$ e $theta$
e poi derivare rispetto a x il risultato ottenuto...
Come si può fare in questo modo?

[_luca.barletta]

io farei così: lascerei un sistema di coordinate curvilinee generico, del tipo $(q_1,q_2)$ e $(h_1,h_2)$ e versori $(vec(a_1),vec(a_2))$. Ad es. in coordinate cartesiane avrai $q_1=x, q_2=y$, $h_1=1,h_2=1$, $vec(a_1)=vec(a_x), vec(a_2)=vec(a_y)$, in coordinate polari $q_1=rho, q_2=theta$, $h_1=1, h_2=rho$, $vec(a_1)=vec(a_rho), vec(a_2)=vec(a_theta)$. Calcolerei quindi gradiente e divergenza con le coordinate generiche, combini i risultati trovati, e infine andrei a sostituire le coordinate generiche con quelle particolari

[fireball1]

Ok Luca ho risolto, dopo aver fatto calcoli su calcoli... Grazie lo stesso!

[direzionecontraria]

Potresti spiegare come hai fatto (e magari l'hai fatto anche in coordinate cilindriche e sferiche)?
Grazie
Saluti

[fireball1]

Te ne esci adesso con questa domanda?
No, solo in coordinate polari, e il foglio dei conti vallo a ritrovare...