Laplaciano in coordinate polari 2

[mashiro1]

altri problema di cui non sono affatto sicuro..

ipse dixit:
trovare le soluzioni radiali dell'equazione:

$Delta u (x,y)=f(x,y)$
con
$f(x,y)=((x^2+y^2)^((k+3)/2)+k)/((x^2+y^2)^((k+2)/2)$.

seguendo le indicazioni che mi avevate gia' dato, questa e' riconducibile ad un'equazione del tipo
$1/rho d/(d rho)[rho (du)/d rho]=f(rho)$

$int d/(d rho)[rho (du)/(d rho)]=int rho f(rho)=int rho [(rho^(2((k+3)/2))+k)/(rho^(2(k+2)/2))] d rho=int rho^2+k/(rho^k+1) d rho= rho^3/3-k/((k+1)rho^k)$

quindi
$int (du)/(d rho)=int 1/rho [rho^3/3-k/((k+1)rho^k)]d rho=int rho^2/3-k/((k+1)rho^(k+1))=rho^3/9+k/((k+1)^2 rho^k)$

ho scritto delle gran cavolate o ci siamo??

[gugo82]

L'unico modo certificato per verificare i calcoli è vedere quanto fa $Delta u$.

Ad ogni modo, mi pare tutto corretto; l'unico dubbio sono quelle integrazioni indefinite buttate lì... Insomma alla tua $u$ potresti sommare una qualunque funzione armonica radiale ed ottenere ancora un integrale dell'eq. di Poisson.
Non hai condizioni al bordo di qualche specie?

[mashiro1]

no, pero' hai ragione, per quanto riguarda le equazioni armoniche.. non saprei nemmeno io come interpretare l'esercizio.
mi chiede semplicemente di trovare le soluzioni dell'equazione, senza vincoli di nessun tipo..
il fatto di avere integrali indefiniti buttati li non la vedo come noncuranza,ma come mancanza di informazioni, nel senso che essendo in coordinate radiali, l'estremo inferiore e' sicuramente zero, ma il sup non saprei dove andare a prenderlo..
anzi, ad essere preciso, il testo recita trovare TUTTE le soluzioni dell'equazione radiale.
e in ogni caso potrei anche aggiungere una funzione di classe $C^1$ in theta per avere ancora una funzione con il laplaciano a quel modo..
mah..

[gugo82]

No mashi... Se la soluzione la vuoi radiale allora devi per forza aggiungere "roba" radiale che non deve influenzare il valore del laplaciano; a questo punto sei obbligato ad aggiungere funzioni armoniche radiali in $RR^2$, che, come ben sai, sono del tipo $c_1 log rho +c_2$.

Questo fatto non è casuale: infatti discende dal fatto che, facendo due integrazioni indefinite, devi necessariamente aggiungere due costanti additive arbitrarie (che ti sei dimenticato per la strada... ).

[mashiro1]

non ho pensato al laplaciano e sono incappato in una cavolata.
cmq se io aggiungo $c_1$ al risultato del primo integrale, e poi integro in $d rho$ un'altra volta, non ottengo $c_1 rho+c_2$??

edit: certo che no.. e' giusto il logaritmo, mi ero dimenticato dell'$1/rho$ che moltiplica il risultato del primo integrale..