Laplaciano in coordinate cilindriche/sferiche ?
salve. come posso ricavare la scrittura del laplaciano in coordinate cilindriche/sferiche?
ho provato con la sostituzione "standard" ma viene una roba assurda!!...1 pagina di formule..inoltre la scrittura finale che ottengo è diversa da quella di wikipedia.
si può fare in un modo un po più intelligente?
grazie
ho provato con la sostituzione "standard" ma viene una roba assurda!!...1 pagina di formule..inoltre la scrittura finale che ottengo è diversa da quella di wikipedia.
si può fare in un modo un po più intelligente?
grazie
Risposte
Non c'è un "modo più intelligente". Devi fare i conti (come sempre in ambito PDE...).
In coordinate sferiche in \(\mathbb{R}^3\) il laplaciano è:
\[
\Delta u=\frac{1}{r^2}\ \frac{\partial}{\partial r} \Big[ r^2\ u_r \Big] + \frac{1}{r^2\ \sin \phi}\ \frac{\partial}{\partial \phi} \Big[ \sin \phi\ u_\phi \Big] + \frac{1}{r^2\ \sin^2 \phi}\ u_{\theta \theta}
\]
mentre in coordinate cilindriche è:
\[
\Delta u=\frac{1}{r}\ \frac{\partial}{\partial r} \Big[ r\ u_r \Big] + \frac{1}{r}\ u_{\theta \theta} + u_{hh}\; .
\]
In generale, in coordinate sferiche in \(\mathbb{R}^N\) si trova:
\[
\Delta u= \frac{1}{r^{N-1}}\ \frac{\partial}{\partial r}\Big[ r^{N-1}\ u_r\Big] + \frac{1}{r^2}\ \Delta_{\mathbb{S}^{N-1}} u
\]
ove \(\Delta_{\mathbb{S}^{N-1}}\) è il cosiddetto laplaciano sferico.
In coordinate sferiche in \(\mathbb{R}^3\) il laplaciano è:
\[
\Delta u=\frac{1}{r^2}\ \frac{\partial}{\partial r} \Big[ r^2\ u_r \Big] + \frac{1}{r^2\ \sin \phi}\ \frac{\partial}{\partial \phi} \Big[ \sin \phi\ u_\phi \Big] + \frac{1}{r^2\ \sin^2 \phi}\ u_{\theta \theta}
\]
mentre in coordinate cilindriche è:
\[
\Delta u=\frac{1}{r}\ \frac{\partial}{\partial r} \Big[ r\ u_r \Big] + \frac{1}{r}\ u_{\theta \theta} + u_{hh}\; .
\]
In generale, in coordinate sferiche in \(\mathbb{R}^N\) si trova:
\[
\Delta u= \frac{1}{r^{N-1}}\ \frac{\partial}{\partial r}\Big[ r^{N-1}\ u_r\Big] + \frac{1}{r^2}\ \Delta_{\mathbb{S}^{N-1}} u
\]
ove \(\Delta_{\mathbb{S}^{N-1}}\) è il cosiddetto laplaciano sferico.
grazie per la risposta...conosci qualche link dove esegue tutti i passaggi? ho cercato su internet ma nn ho trovato nulla...