Laplaciano in coordinate cilindriche/sferiche ?

giolb10
salve. come posso ricavare la scrittura del laplaciano in coordinate cilindriche/sferiche?
ho provato con la sostituzione "standard" ma viene una roba assurda!!...1 pagina di formule..inoltre la scrittura finale che ottengo è diversa da quella di wikipedia.
si può fare in un modo un po più intelligente?
grazie

Risposte
gugo82
Non c'è un "modo più intelligente". Devi fare i conti (come sempre in ambito PDE...).

In coordinate sferiche in \(\mathbb{R}^3\) il laplaciano è:
\[
\Delta u=\frac{1}{r^2}\ \frac{\partial}{\partial r} \Big[ r^2\ u_r \Big] + \frac{1}{r^2\ \sin \phi}\ \frac{\partial}{\partial \phi} \Big[ \sin \phi\ u_\phi \Big] + \frac{1}{r^2\ \sin^2 \phi}\ u_{\theta \theta}
\]
mentre in coordinate cilindriche è:
\[
\Delta u=\frac{1}{r}\ \frac{\partial}{\partial r} \Big[ r\ u_r \Big] + \frac{1}{r}\ u_{\theta \theta} + u_{hh}\; .
\]
In generale, in coordinate sferiche in \(\mathbb{R}^N\) si trova:
\[
\Delta u= \frac{1}{r^{N-1}}\ \frac{\partial}{\partial r}\Big[ r^{N-1}\ u_r\Big] + \frac{1}{r^2}\ \Delta_{\mathbb{S}^{N-1}} u
\]
ove \(\Delta_{\mathbb{S}^{N-1}}\) è il cosiddetto laplaciano sferico.

giolb10
grazie per la risposta...conosci qualche link dove esegue tutti i passaggi? ho cercato su internet ma nn ho trovato nulla...

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