Laplaciano del potenziale ritardato
Ho trovato una dimostrazione, su D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, § 10.2.1, del fatto che, sotto le ipotesi usualmente fatte su \(\rho\) in fisica, cui possiamo dare l'interpretazione di densità di carica elettrica, la funzione definita da $$V(\mathbf{x},t):=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{\mathbb{R}^3} \frac{\rho(\mathbf{y},t-c^{-1}\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|)}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|} d^3y,$$dove credo che l'integrale sia di Lebesgue o equivalentemente il limite di un integrale di Riemann, che corrisponde al potenziale ritardato con gauge di Lorenz dell'elettrodinamica se \(\varepsilon_0\) è interpretata come la permittività del vuoto, è tale che $$\nabla_x^2V(\mathbf{x},t)=-\frac{1}{\varepsilon_0} \rho(\mathbf{x},t)+ \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 V(\mathbf{x},t) }{\partial t^2} .$$ Chiedo qui perché ho bisogno di una mano per capire ed interpretare i passaggi in modo matematico, cioè rigoroso.
Per semplificare le notazioni ometterò gli argomenti di $V$ e \(\rho\). La dimostrazione che ho trovato è come segue:
Noto che si deriva sotto il segno di integrale, ma non ho alcuna idea del motivo per cui ciò sia legittimo. Data la natura fisica del problema, credo che \(\rho(-,t):\mathbf{y}\mapsto \rho(\mathbf{y},t)\) possa essere supposto a supporto compatto come funzione di \(\mathbf{y}\) per ogni $t$ e tale che \(\rho\in C^2(\mathbb{R}^4)\), ma la discontinuità nel punto \(\mathbf{x}\) non mi permette di usare la regola di Leibniz nella formulazione che conosco.
Dove, di nuovo, sembra essere lecito derivare sotto il segno di integrale, anche se non mi è chiaro ol perché.
Dove vedo che le "derivate" non sono le solite derivate dell'analisi matematica (che porterebbero a \(\nabla\cdot( (\mathbf{x}-\mathbf{y}) / \|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^3 )=0\) ovunque eccetto che per \(\mathbf{x}=\mathbf{y}\) in cui non esiste, ma un punto non cambia un integrale di Lebesgue).
Non è la prima volta che trovo derivazioni senza spiegazione sotto il segno di integrale, che all'improvviso diventa qualcos'altro da un integrale di Lebesgue in qualche passaggio, con introduzioni di \(\delta\) senza chiarimenti sul perché tali introduzioni sarebbero legittime. So, come dimostrato qui, che \(\nabla^2\left( \frac{1}{\| \mathbf{x}-\mathbf{y}\|} \right)= -4\pi\delta^3(\mathbf{y}-\mathbf{x})\), ma ciò vale nel senso che $$\forall\varphi\in C_c^2(\mathbb{R}^3)\quad \int_{\mathbb{R}^3}\frac{\nabla_y^2\varphi(\mathbf{y})}{\| \mathbf{x}-\mathbf{y}\|}d\mu_{\mathbf{y}}=-4\pi \varphi(\mathbf{x}), $$ mentre $$\int_{\mathbb{R}^3} \varphi(\mathbf{y}) \nabla_x^2 \left( \frac{1}{\| \mathbf{x}-\mathbf{y}\|} \right) d\mu_{\mathbf{y}}=\int_{\mathbb{R}^3} \varphi(\mathbf{y})\cdot 0 \,d\mu_{\mathbf{y}}=0.$$
Noto anche che la singolarità nel punto $\mathbf{y}=\mathbf{x}$ non impedisce di considerare \(-\frac{\dot\rho}{c}\nabla_x\cdot\left( \frac{\mathbf{x}-\mathbf{y}}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^2} \right) -\frac{\mathbf{x}-\mathbf{y}}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^3}\cdot\nabla_x \rho=0\), mentre \(\nabla\cdot\left( \frac{\mathbf{x}-\mathbf{y}}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^3} \right)\) ci dà quel $\delta$ che fa tornare i conti come voluto.
(Onestamente, da alcune risposte che ottengo quando parlo di queste questioni con studenti universitari, sto cominciando a pensare che non troppo pochi di questi vedano queste derivazioni sotto il segno di integrale con introduzione di $\delta$ come trucchi per fingere di fare matematica ed ottenere qualunque risultato desiderato).
Qualcuno sarebbe così gentile da fornire o linkare una dimostrazione con spiegazione dei passaggi dell'identità $\nabla_x^2V=-\frac{1}{\varepsilon_0} \rho+ \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 V }{\partial t^2} $? Credo che questo teorema possa servire, ma non sono in grado di arrivare ad una dimostrazione...
Grazie di cuore a tutti!
Per semplificare le notazioni ometterò gli argomenti di $V$ e \(\rho\). La dimostrazione che ho trovato è come segue:
$$\nabla_x V= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{1}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|} \nabla\rho+\rho\nabla\left(\frac{1}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}\right) d^3y$$
Noto che si deriva sotto il segno di integrale, ma non ho alcuna idea del motivo per cui ciò sia legittimo. Data la natura fisica del problema, credo che \(\rho(-,t):\mathbf{y}\mapsto \rho(\mathbf{y},t)\) possa essere supposto a supporto compatto come funzione di \(\mathbf{y}\) per ogni $t$ e tale che \(\rho\in C^2(\mathbb{R}^4)\), ma la discontinuità nel punto \(\mathbf{x}\) non mi permette di usare la regola di Leibniz nella formulazione che conosco.
\(\nabla_x\rho=-c^{-1}\dot\rho\nabla_x \|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|\) (dove il punto denota la derivata rispetto alla seconda variabile), \(\nabla_x \|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|=\frac{\mathbf{x}-\mathbf{y}}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}\) e \(\nabla_x\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^{-1}=-\frac{\mathbf{x}-\mathbf{y}}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^3} \), quindi $$\nabla_x V= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int -\frac{\dot\rho}{c}\frac{\mathbf{x}-\mathbf{y}}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^2} -\rho\frac{\mathbf{x}-\mathbf{y}}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^3} d^3y.$$Prendendo la divergenza si ha $$\nabla_x^2 V= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int -\frac{1}{c}\frac{\mathbf{x}-\mathbf{y}}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^2}\cdot\nabla_x\dot\rho -\frac{\dot\rho}{c}\nabla_x\cdot\left( \frac{\mathbf{x}-\mathbf{y}}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^2} \right) $$$$-\frac{\mathbf{x}-\mathbf{y}}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^3}\cdot\nabla_x \rho - \rho \nabla_x\cdot\left( \frac{\mathbf{x}-\mathbf{y}}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^3} \right)\,d^3y $$
Dove, di nuovo, sembra essere lecito derivare sotto il segno di integrale, anche se non mi è chiaro ol perché.
Ma $$\nabla_x \dot\rho=-\frac{\ddot\rho}{c} \nabla_x \|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|=-\frac{\ddot\rho}{c} \frac{\mathbf{x}-\mathbf{y}}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|},$$ $$\nabla_x\cdot\left( \frac{\mathbf{x}-\mathbf{y}}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^2} \right)=\frac{1}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^2} $$e $$\nabla\cdot\left( \frac{\mathbf{x}-\mathbf{y}}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^3} \right)=4\pi\delta^3(\mathbf{y}-\mathbf{x}).$$
Dove vedo che le "derivate" non sono le solite derivate dell'analisi matematica (che porterebbero a \(\nabla\cdot( (\mathbf{x}-\mathbf{y}) / \|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^3 )=0\) ovunque eccetto che per \(\mathbf{x}=\mathbf{y}\) in cui non esiste, ma un punto non cambia un integrale di Lebesgue).
Quindi $$\nabla_x^2 V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int\frac{\ddot\rho}{c^2\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}-4\pi\delta^3(\mathbf{y}-\mathbf{x})\,d^3y=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 V}{\partial t^2}-\frac{\rho}{\varepsilon_0}.$$
Non è la prima volta che trovo derivazioni senza spiegazione sotto il segno di integrale, che all'improvviso diventa qualcos'altro da un integrale di Lebesgue in qualche passaggio, con introduzioni di \(\delta\) senza chiarimenti sul perché tali introduzioni sarebbero legittime. So, come dimostrato qui, che \(\nabla^2\left( \frac{1}{\| \mathbf{x}-\mathbf{y}\|} \right)= -4\pi\delta^3(\mathbf{y}-\mathbf{x})\), ma ciò vale nel senso che $$\forall\varphi\in C_c^2(\mathbb{R}^3)\quad \int_{\mathbb{R}^3}\frac{\nabla_y^2\varphi(\mathbf{y})}{\| \mathbf{x}-\mathbf{y}\|}d\mu_{\mathbf{y}}=-4\pi \varphi(\mathbf{x}), $$ mentre $$\int_{\mathbb{R}^3} \varphi(\mathbf{y}) \nabla_x^2 \left( \frac{1}{\| \mathbf{x}-\mathbf{y}\|} \right) d\mu_{\mathbf{y}}=\int_{\mathbb{R}^3} \varphi(\mathbf{y})\cdot 0 \,d\mu_{\mathbf{y}}=0.$$
Noto anche che la singolarità nel punto $\mathbf{y}=\mathbf{x}$ non impedisce di considerare \(-\frac{\dot\rho}{c}\nabla_x\cdot\left( \frac{\mathbf{x}-\mathbf{y}}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^2} \right) -\frac{\mathbf{x}-\mathbf{y}}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^3}\cdot\nabla_x \rho=0\), mentre \(\nabla\cdot\left( \frac{\mathbf{x}-\mathbf{y}}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^3} \right)\) ci dà quel $\delta$ che fa tornare i conti come voluto.
(Onestamente, da alcune risposte che ottengo quando parlo di queste questioni con studenti universitari, sto cominciando a pensare che non troppo pochi di questi vedano queste derivazioni sotto il segno di integrale con introduzione di $\delta$ come trucchi per fingere di fare matematica ed ottenere qualunque risultato desiderato).
Qualcuno sarebbe così gentile da fornire o linkare una dimostrazione con spiegazione dei passaggi dell'identità $\nabla_x^2V=-\frac{1}{\varepsilon_0} \rho+ \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 V }{\partial t^2} $? Credo che questo teorema possa servire, ma non sono in grado di arrivare ad una dimostrazione...
Grazie di cuore a tutti!
Risposte
"DavideGenova":
la funzione definita da $$V(\mathbf{x},t):=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{\mathbb{R}^3} \frac{\rho(\mathbf{y},t-c^{-1}\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|)}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|} d^3y,$$dove credo che l'integrale sia di Lebesgue o equivalentemente il limite di un integrale di Riemann
Provo a dare una parziale risposta. Come hai notato la definizione di questo operatore integrale potrebbe essere qualcosa del genere:
$$V(\mathbf{x},t):=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \lim_{\rho\to 0} \int_{\mathbb{R}^3 \setminus B_{\rho}(\textbf{x})} \frac{\rho(\mathbf{y},t-c^{-1}\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|)}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|} d^3y $$
Ammettendo che $\rho$ abbia buone proprietà di regolarità, posto
$$V_\rho (\mathbf{x},t):=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_{\mathbb{R}^3 \setminus B_{\rho}(\textbf{x})} \frac{\rho(\mathbf{y},t-c^{-1}\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|)}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|} d^3y $$
calcoliamo
$$\Delta_x V_\rho (\mathbf{x},t) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_{\mathbb{R}^3} \Delta_x \left [ \left ( \frac{\rho(\mathbf{y},t-c^{-1}\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|)}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|} \right ) \cdot (1 - \chi_{B_{\rho}(\textbf{x})}(\textbf{y}) ) \right ] d^3y $$
Non ho provato a fare i conti e sinceramente non ci ho pensato granché; a naso si dovrebbe ottenere la formula... Buh...
Grazie per l'intervento, Seneca! Che teorema si applica per differenziare \(V_{\rho}\) sotto il segno di integrale? Quanto ai conti, non avrei alcuna idea di come poter procedere 
data la presenza di quel \(\chi_{B_{\rho}(\mathbf{x})}(\mathbf{y})\)... $\infty$ grazie ancora!
data la presenza di quel \(\chi_{B_{\rho}(\mathbf{x})}(\mathbf{y})\)... $\infty$ grazie ancora!
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