Laplace
Come si risolve un'equazione differenziale a coefficienti variabili con l'ausilio delle trasformate di Laplace?
Ad esempio:
$ty^('')+t^2y^{\prime}+y=1,y(0)=-1,y^{\prime}(0)=1$?
Ad esempio:
$ty^('')+t^2y^{\prime}+y=1,y(0)=-1,y^{\prime}(0)=1$?
Risposte
Hey.............c'è nessuno? 
"Ainéias":
Come si risolve un'equazione differenziale a coefficienti variabili con l'ausilio delle trasformate di Laplace?
Ad esempio:
$ty^('')+t^2y^{\prime}+y=1,y(0)=-1,y^{\prime}(0)=1$?
ma $y=y(t)$ o $t$ è un parametro?
"nicola de rosa":
[quote="Ainéias"]Come si risolve un'equazione differenziale a coefficienti variabili con l'ausilio delle trasformate di Laplace?
Ad esempio:
$ty^('')+t^2y^{\prime}+y=1,y(0)=-1,y^{\prime}(0)=1$?
ma $y=y(t)$ o $t$ è un parametro?[/quote]
è un parametro;l'equazione è a coefficienti variabili
Il libro fa la trasformata di ambo i membri ma,al posto di $t$ mette $-d/(ds)$.mah
Mette $-d/(ds)$ perche è una proprietà della trasformata.
$L[ ty(t) ](s) = -d/(ds)(L[y(t)](s) $
Io ho provato a svolgerla ma mi viene un equazione differenziale
Quindi non saprei come risolverla.
$\{(ty^('')+t^2y^{\prime}+y=1),(y(0)=-1),(y^{\prime}(0)=1):}$
$L[ty''(t)](s) = -d/(ds)(s^2Y(s)-sY(0)-Y'(0))$
$L[t^2y'(t)](s) = d^2/(ds)(sY(s) - Y(0))$
$(2sY(s)+s^2Y'(s) + 2Y'(s) + sY''(s) + Y(s) = 1/s$
ma onestamente non so procedere oltre.
$L[ ty(t) ](s) = -d/(ds)(L[y(t)](s) $
Io ho provato a svolgerla ma mi viene un equazione differenziale
Quindi non saprei come risolverla.$\{(ty^('')+t^2y^{\prime}+y=1),(y(0)=-1),(y^{\prime}(0)=1):}$
$L[ty''(t)](s) = -d/(ds)(s^2Y(s)-sY(0)-Y'(0))$
$L[t^2y'(t)](s) = d^2/(ds)(sY(s) - Y(0))$
$(2sY(s)+s^2Y'(s) + 2Y'(s) + sY''(s) + Y(s) = 1/s$
ma onestamente non so procedere oltre.
Come giustamente ha fatto osservare emitrax, la strada da prendere in questi casi si basa sulle seguenti due proprietà della L-trasformata, vale a dire che se $L[phi(t)]=f(s)$, allora…
a) $L[t^n*phi(t)]=(-1)^n*d/(ds^n) f(s)$ (1)
b) $L[phi’(t)]=s*f(s)-phi(0)$ (2)
In generale partendo da un’equazioni differenziale in $t$ a coefficienti variabili, operando con queste due formule, si ottiene un’equazione differenziale in $s$ la quale a sua volta deve essere risolta. Non sempre però l’equazione in $s$ risulta più agevole da affrontare di quella in $t$. Nell’esempio fatto da Ainèias, come ha dimostrato emitrax, si ottiene ne un’equazione differenziale in $s$ ‘diffcile’ all’incirca come quella in $t$ e di conseguenza l’uso della L-trasformata non agevola la soluzione… in questo caso si direbbe anzi il contrario…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
a) $L[t^n*phi(t)]=(-1)^n*d/(ds^n) f(s)$ (1)
b) $L[phi’(t)]=s*f(s)-phi(0)$ (2)
In generale partendo da un’equazioni differenziale in $t$ a coefficienti variabili, operando con queste due formule, si ottiene un’equazione differenziale in $s$ la quale a sua volta deve essere risolta. Non sempre però l’equazione in $s$ risulta più agevole da affrontare di quella in $t$. Nell’esempio fatto da Ainèias, come ha dimostrato emitrax, si ottiene ne un’equazione differenziale in $s$ ‘diffcile’ all’incirca come quella in $t$ e di conseguenza l’uso della L-trasformata non agevola la soluzione… in questo caso si direbbe anzi il contrario…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
"Ainéias":
[quote="nicola de rosa"][quote="Ainéias"]Come si risolve un'equazione differenziale a coefficienti variabili con l'ausilio delle trasformate di Laplace?
Ad esempio:
$ty^('')+t^2y^{\prime}+y=1,y(0)=-1,y^{\prime}(0)=1$?
ma $y=y(t)$ o $t$ è un parametro?[/quote]
è un parametro;l'equazione è a coefficienti variabili
Il libro fa la trasformata di ambo i membri ma,al posto di $t$ mette $-d/(ds)$.mah[/quote]
perciò ti avevo chiesto se era $y=y(t)$. se il libro mette quella derivata è perchè la $y=y(t)$ per cui la moltiplicazione $t*y(t)$ nel dominio trasformato è una derivata.
Ho capito.
Ed in problemi del genere (-> https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=15145 ) qual è la strada da percorrere?
Ed in problemi del genere (-> https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=15145 ) qual è la strada da percorrere?
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