Lagrangiana

[Fagna1]

Ho un dubbio sulla funzione lagrangiana..
In questa funzione $x^2+y^2-6x$ soggetta al vincolo $x^2+4y^2-4=0$
nella soluzione usa la formula $x^2+y^2-6x-lambda(x^2+4y^2-4)$, mentere in altri esercizi e nella teoria usa $+lambda$ e mi sembrava strano
volevo sapere se il segno dipende da qualcosa.
Se invece il vincolo fosse stato < o > cambiava qualcosa?

[Megan00b]

Innanzitutto $lambda$ è variabile in $RR$ quindi se metti + o - cambia poco, semplicemente otterrai le soluzioni (in $lambda$) cambiate di segno. Ma a te non te ne frega niente perchè vuoi sapere gli (x,y) che danno massimo o minimo. Il $lambda$ è ("diciamo") una variabile ausiliaria che ti serve per il metodo di lagrange e poi la butti via.

Per il discorso del vincolo con minore o maggiore (es. g(x,y)>=0 ) se n'è discusso un paio di mesi fa su questo forum (la domanda la posi io...). In questo caso ci sono 2 modi. O spezzi il vincolo nella parte g=0 (che si risolve con una lagrangiana) e nella parte g>0 in cui devi parametrizzare e risolverlo con metodi standard, oppure ci sono le condizioni di karush-kuhn-tucker (credo si scriva così) che sono una generalizzazione di lagrange ma è roba da ricerca operativa.
Se non mi sono spiegato chiedi pure.

[franced]

"Fagna":Ho un dubbio sulla funzione lagrangiana..
In questa funzione $x^2+y^2-6x$ soggetta al vincolo $x^2+4y^2-4=0$
nella soluzione usa la formula $x^2+y^2-6x-lambda(x^2+4y^2-4)$, mentere in altri esercizi e nella teoria usa $+lambda$ e mi sembrava strano
volevo sapere se il segno dipende da qualcosa.
Se invece il vincolo fosse stato < o > cambiava qualcosa?

La funzione $f(x,y)$ ha a che fare con la distanza del punto $(x;y)$ dal punto $(3;0)$;
infatti:

$f(x,y) = x^2 + y^2 - 6x = (x-3)^2 + (y-0)^2 - 9$

Il numero $-9$ non ha importanza visto che tu vuoi studiare i massimi e i minimi
di $f(x,y)$:
il $-9$ non fa altro che "traslare" tutti i valori di una stessa quantità.
Il vincolo è rappresentato da un'ellisse con centro in $(0,0)$, assi principali
coincidenti con gli assi cartesiani, e semiassi $2$ e $1$.

I punti sono allora$(2;0)$ e $(-2;0)$:
questi due punti sono, rispettivamente, il punto di minima distanza da $(3;0)$
e il punto di massima distanza sempre dallo stesso punto.

Geometricamente trovi due circonferenze con centro in $(3;0)$ tangenti (una
internamente, l'altra esternamente) all'ellisse data ($x^2 + 4y^2 - 4 = 0$).


Se vuoi puoi visualizzare il tutto nello spazio $RR^3$, dove la tua funzione
è rappresentata da un paraboloide circolare e il vincolo è rappresentato da
un cilindro con base ellittica.