Lagrange distanza minima da una retta

[liam-lover]

Come si usano i moltiplicatori di Lagrange per trovare il punto di distanza minima da una certa retta?

Ad esempio, ho:

$ D={(x,y):(x-y)^6+(x+y)^6=1} $

e la retta x=1.

[gugo82]

Indovina…

Qual è la funzione da minimizzare?
Quali sono i vincoli?


P.S.: Hai scritto bene $D$?

P.P.S.: Hai fatto un disegno?

[liam-lover]

"gugo82":Indovina…

Qual è la funzione da minimizzare?

La funzione distanza da x=1, che dovrebbe essere (se non sbaglio) $ sqrt((x-1)^2+y^2 $.

"gugo82":
Quali sono i vincoli?

Perché al plurale?

"gugo82":

P.S.: Hai scritto bene $ D $?

Hai ragione, ho modificato.

"gugo82":

P.P.S.: Hai fatto un disegno?

L'ho appena guardato su Geogebra, ma non avrei saputo riconoscerla dall'equazione. Guardando (x-y)^6+(x+y)^6 pensavo ad un paraboloide, e poiché posta =1 pensavo ad una circonferenza sul piano xy.
Da cosa dipende che la base non sia una circonferenza? Dall'esponente?

[gugo82]

"maxira":[quote="gugo82"]Indovina…

Qual è la funzione da minimizzare?

La funzione distanza da x=1, che dovrebbe essere (se non sbaglio) $ sqrt((x-1)^2+y^2 $.[/quote]
No.
Questa è la distanza del punto $(x,y)$ dal punto $(1,0)$.

Come si calcola la distanza di $(x,y)$ dalla retta $x=1$?
È argomento di seconda liceo, se vuoi… Ma in realtà è una cosa elementarissima.

"maxira":[quote="gugo82"]
Quali sono i vincoli?

Perché al plurale?[/quote]
Perché non imposti il problema?

"maxira":[quote="gugo82"]

P.S.: Hai scritto bene $ D $?

Hai ragione, ho modificato.[/quote]
Ok.

"maxira":[quote="gugo82"]

P.P.S.: Hai fatto un disegno?

L'ho appena guardato su Geogebra […][/quote]
Non devi solo “guardarlo” su GeoZebra o su qualsiasi altro fattapposta, ti devi sporcare le mani e devi disegnarlo tu.

"maxira":[…] ma non avrei saputo riconoscerla dall'equazione. Guardando (x-y)^6+(x+y)^6 pensavo ad un paraboloide, e poiché posta =1 pensavo ad una circonferenza sul piano xy.
Da cosa dipende che la base non sia una circonferenza? Dall'esponente?

Non “avresti saputo riconoscerla” perché non c’è nulla da riconoscere.

Lo sai cos’è un paraboloide? O usi termini a caso?
Come vuoi che $D$ sia una circonferenza se la sua equazione cartesiana è di sesto grado?[nota]Al liceo dovresti aver studiato che le coniche (delle quali la circonferenza fa parte) hanno equazione cartesiana al più di secondo grado…[/nota]
“La base” di cosa non è una circonferenza? Del “paraboloide”?

Ad ogni buon conto, non serve la zingara né per capire come è fatto $D$ né per risolvere il problema.

Facendo la sostituzione $\{ (u = x-y), (v=x+y):}$, che equivale a ruotare gli assi del sistema cartesiano $Oxy$ sulle bisettrici dei quadranti, si vede che l’equazione di $D$ nel nuovo riferimento è $u^6 + v^6 =1$ dunque $D$ coincide con la curva chiusa costituita dai grafici delle due funzioni $v=+- root(6)(1 - u^6)$; con un semplice studio di funzione, si vede che $D$ è la curva che segue del piano $Ouv$:
[asvg]xmin = -1; xmax=1; ymin=-1; ymax =1;
axes();
strokewidth = 2;
plot("(1 - x^6)^(0.166)", -1, 1);
plot("-(1 - x^6)^(0.166)", -1, 1);[/asvg]
(che il software non riesce a chiudere in $(1,0)$), solo ruotata attorno all’origine di 45 gradi in $Oxy$ (di modo che i vertici “arrotondati” cadono sugli assi $x$ ed $ y$ del riferimento $Oxy$).

Se continuiamo a ragionare in $Ouv$ per disegnare meglio le cose, la retta $x=1$ si trasforma nella retta di equazioni $\{ (u = 1 -y), (v=1 +y):} <=> v=2-u$ e possiamo disegnarla nello stesso piano della curva $D$:
[asvg]xmin = -2; xmax=2; ymin=-2; ymax =2;
axes();
strokewidth = 2;
plot("(1 - x^6)^(0.166)", -1, 1);
plot("-(1 - x^6)^(0.166)", -1, 1);
stroke= "red"; line([4,-2],[-2,4]);[/asvg]
e da ciò si “vede” che il punto più vicino alla retta è il vertice “arrotondato” che cade sulla bisettrice di equazione $v=u$ in $Ouv$. Ma $v=u <=> x+y = x -y$ e quindi il punto di minima distanza dalla retta ha $y=0$ in $Oxy$; dato che gli unici punti di $D$ ad avere $y=0$ sono $(+-1/(root(6)(2)),0)$, e dato che quello con ascissa positiva è più vicino alla retta, la soluzione del problema è $(1/(root(6)(2)),0)$.