LaGrange a due variabili (Analisi II).
Ciao a tutti.
Sono giorni ormai che sbatto la testa sul teorema di Lagrange a due variabili, e non ne cavo un ragno dal buco.
Vi spiego:
mi dice che in un sottoinsieme di R a n dimensioni, chiamato X, ci devono essere due punti (chiamiamoli p e q) tali che il segmento chiuso che li congiunge sia interamente contenuto in X (il sottoinsieme di prima, appunto).
Poi, sia f una funzione reale definita in X, continua su S e differenziabile nei punti interni ad S. (S, chiaramente, è il segmento di prima con estremi p e q).
Esiste allora un punto c interno a S tale che si abbia... f(q)-f(p)=sommatoria,blablabla.. =vettore gradiente della funzione nel punto c, moltiplicato per (q-p).
All'atto pratico, questo risultato, cosa rappresenta? Ad esempio ricordo che nel primo teorema di Lagrange si individuava un punto la cui derivata aveva la stessa pendenza del segmento congiungente i due estremi.. ma qua, invece?
Mi sapreste aiutare anche con la dimostrazione? Grazie.[/chesspos]
Sono giorni ormai che sbatto la testa sul teorema di Lagrange a due variabili, e non ne cavo un ragno dal buco.
Vi spiego:
mi dice che in un sottoinsieme di R a n dimensioni, chiamato X, ci devono essere due punti (chiamiamoli p e q) tali che il segmento chiuso che li congiunge sia interamente contenuto in X (il sottoinsieme di prima, appunto).
Poi, sia f una funzione reale definita in X, continua su S e differenziabile nei punti interni ad S. (S, chiaramente, è il segmento di prima con estremi p e q).
Esiste allora un punto c interno a S tale che si abbia... f(q)-f(p)=sommatoria,blablabla.. =vettore gradiente della funzione nel punto c, moltiplicato per (q-p).
All'atto pratico, questo risultato, cosa rappresenta? Ad esempio ricordo che nel primo teorema di Lagrange si individuava un punto la cui derivata aveva la stessa pendenza del segmento congiungente i due estremi.. ma qua, invece?
Mi sapreste aiutare anche con la dimostrazione? Grazie.[/chesspos]
Risposte
La risposta e' semplice.
Il teorema di Lagrange (in 1 variabile) vale su un intervallo.
In due (o piu') variabili, lo applichi sul segmento che unisce due punti del dominio. Mediante parametrizzazione del segmento ti riduci al caso a 1 variabile. Fine del discorso.
Naturalmente devi essere sicuro che il segmento congiungente i due punti sia tutto contenuto dentro l'insieme di definizione, senno' la cosa non funge. Fatti un disegno di un fagiolo e vedrai che ci sono coppie di punti per le quali non e' vero che tutto il segmento che li congiunge sta dentro al fagiolo.
Il teorema di Lagrange (in 1 variabile) vale su un intervallo.
In due (o piu') variabili, lo applichi sul segmento che unisce due punti del dominio. Mediante parametrizzazione del segmento ti riduci al caso a 1 variabile. Fine del discorso.
Naturalmente devi essere sicuro che il segmento congiungente i due punti sia tutto contenuto dentro l'insieme di definizione, senno' la cosa non funge. Fatti un disegno di un fagiolo e vedrai che ci sono coppie di punti per le quali non e' vero che tutto il segmento che li congiunge sta dentro al fagiolo.
"Greatkekko":
Ciao a tutti.
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All'atto pratico, questo risultato, cosa rappresenta? Ad esempio ricordo che nel primo teorema di Lagrange si individuava un punto la cui derivata aveva la stessa pendenza del segmento congiungente i due estremi.. ma qua, invece?
Mi sapreste aiutare anche con la dimostrazione? Grazie.[/chesspos]
Ti ringrazio.
Richiamo l'attenzione su questi ulteriori punti della domanda.
Inoltre vorrei che mi venisse spiegata più nel dettaglio la questione della "parametrizzazione".
Grazie per la disponibilità.
"Greatkekko":
All'atto pratico, questo risultato, cosa rappresenta? Ad esempio ricordo che nel primo teorema di Lagrange si individuava un punto la cui derivata aveva la stessa pendenza del segmento congiungente i due estremi.. ma qua, invece?
E' la stessa identica cosa. Immagina di avere a disposizione il grafico 3D della tua funzione di due variabili. Ne fai una sezione verticale, passante per la retta che congiunge i due punti che ti interessano. Riottieni precisamente la situazione illustrata nel caso di una variabile.
"Greatkekko":Si tratta si scrivere l'equazione parametrica di un segmento in $RR^2$.
Inoltre vorrei che mi venisse spiegata più nel dettaglio la questione della "parametrizzazione".
"Fioravante Patrone":Si tratta si scrivere l'equazione parametrica di un segmento in $RR^2$.[/quote][/quote]
[quote="Greatkekko"]
Riottieni precisamente la situazione illustrata nel caso di una variabile.
[quote="Greatkekko"]Inoltre vorrei che mi venisse spiegata più nel dettaglio la questione della "parametrizzazione".
Sarebbe a dire? A me pare tutto diverso nel caso di R^2
Mi spiego: nel teorema del Valor Medio ad una variabile ritrovo questa definizione: "il teorema di Lagrange afferma che sotto le ipotesi di regolarità enunciate è sempre possibile trovare un punto c, come nell'esempio, tale che la tangente in quel punto ha la stessa pendenza del segmento congiungente i punti estremi del grafico.".
Quale definizione sarebbe consona, invece, per il relativo teorema a due variabili?
Poichè mi pare tutto diverso, a partire dall'enunciato: Qui anzichè essere " f'(c)= " è " f(q) - f(p)= "... Come vedi già "la partenza è diversa!
Chi mi aiuta a capire sto maledetto??
Grazie.
Fatti un disegno.
Magari in un caso particolare: $f(x,y) = x^2 + y^2$, scegliendoti i due punti in modo che il segmento sia parallelo all'asse delle $x$. Chessò: $(2,0)$ e $(5,0)$.
Magari in un caso particolare: $f(x,y) = x^2 + y^2$, scegliendoti i due punti in modo che il segmento sia parallelo all'asse delle $x$. Chessò: $(2,0)$ e $(5,0)$.
....vabbè
"Greatkekko":
Poichè mi pare tutto diverso, a partire dall'enunciato: Qui anzichè essere " f'(c)= " è " f(q) - f(p)= "... Come vedi già "la partenza è diversa!
Cioè per te scrivere $f(b) - f(a) = f'(c) \cdot (b-a)$ oppure $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{(b-a)}$ sono due cose apocalitticamente diverse?
No, fortunatamente no!
Grazie per avermi fatto notare la "somiglianza" tra le due formule, da solo purtroppo non riuscivo a vederla.
A questo punto ti domando: la derivata sta alle funzioni ad una variabile come il gradiente sta alle funzioni a due variabili? Se fosse così finalmente inizierei a vederci chiaro..!
Grazie per avermi fatto notare la "somiglianza" tra le due formule, da solo purtroppo non riuscivo a vederla.
A questo punto ti domando: la derivata sta alle funzioni ad una variabile come il gradiente sta alle funzioni a due variabili? Se fosse così finalmente inizierei a vederci chiaro..!
ah .. come faremmo noi studenti di ingegneria senza i vostri preziosi consigli !
grazie matematicamente !
grazie matematicamente !
ciao ragazzi
siccome nel programma di analisi 2 è uscito teorema di lagrange e la prof non ce lo ha mai spiegato non ho idea di quale sia ma suppongo possa essere questo
siccome non lo ho capito tanto bene, potreste dare qualche delucidazione?
siccome nel programma di analisi 2 è uscito teorema di lagrange e la prof non ce lo ha mai spiegato non ho idea di quale sia ma suppongo possa essere questo
siccome non lo ho capito tanto bene, potreste dare qualche delucidazione?
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