Lagrange!
1) Come posso dimostrare con il teorema di Lagrange che $ sinx<= x $ ?
2) Attraverso il polinomio di Taylor con il resto di Lagrange come posso calcolare per esempio il $ sin7 $ con un margine di errore fissato a priori?
2) Attraverso il polinomio di Taylor con il resto di Lagrange come posso calcolare per esempio il $ sin7 $ con un margine di errore fissato a priori?
Risposte
Qualche tua idea?
Ad ogni modo, la (1) scritta così è falsa, è vera solo per $x \ge 0$. Più in generale, comunque, \( \vert \sin{x} \vert \le \vert x \vert \), per ogni $x \in \mathbb R$. Dimostrarlo con Lagrange non è difficile, provaci (fissato $x >0$, applica il teorema sull'intervallo $[0,x]$ a una "opportuna"
funzione, prendi i valori assoluti, ricorda la stima elementare sul coseno e il gioco è praticamente fatto).
Mi preme tuttavia far notare una cosa: la disuguaglianza in questione si dimostra con metodi elementari (serve per dimostrare ad esempio il limite notevole del seno, $sinx/x \to 1$ per $x \to 0$). Ora se tu la vuoi dimostrare con Lagrange solo per fare un "esercizio di stile" (sul th. in questione), allora ok, non c'è problema e la strada è quella che ti ho tracciato sommariamente sopra. Se invece vuoi dimostrarla diciamo in un ambiente "formale", allora non puoi usare Lagrange: il motivo è semplice. La disuguaglianza serve, come già osservato, per dimostrare il limite notevole del seno, il quale a sua volta serve per dimostrare che la derivata del seno è il coseno, risultato che tu stai usando ora. Quindi: o dimostri in altro modo che la derivata del seno è il coseno (basta dimostare che è una funzione limitata in valore assoluto da $1$) oppure stai facendo un ragionamento circolare, che non va bene.
Ad ogni modo, la (1) scritta così è falsa, è vera solo per $x \ge 0$. Più in generale, comunque, \( \vert \sin{x} \vert \le \vert x \vert \), per ogni $x \in \mathbb R$. Dimostrarlo con Lagrange non è difficile, provaci (fissato $x >0$, applica il teorema sull'intervallo $[0,x]$ a una "opportuna"
funzione, prendi i valori assoluti, ricorda la stima elementare sul coseno e il gioco è praticamente fatto).Mi preme tuttavia far notare una cosa: la disuguaglianza in questione si dimostra con metodi elementari (serve per dimostrare ad esempio il limite notevole del seno, $sinx/x \to 1$ per $x \to 0$). Ora se tu la vuoi dimostrare con Lagrange solo per fare un "esercizio di stile" (sul th. in questione), allora ok, non c'è problema e la strada è quella che ti ho tracciato sommariamente sopra. Se invece vuoi dimostrarla diciamo in un ambiente "formale", allora non puoi usare Lagrange: il motivo è semplice. La disuguaglianza serve, come già osservato, per dimostrare il limite notevole del seno, il quale a sua volta serve per dimostrare che la derivata del seno è il coseno, risultato che tu stai usando ora. Quindi: o dimostri in altro modo che la derivata del seno è il coseno (basta dimostare che è una funzione limitata in valore assoluto da $1$) oppure stai facendo un ragionamento circolare, che non va bene.
"Paolo90":
Qualche tua idea?
Ad ogni modo, la (1) scritta così è falsa, è vera solo per $x \ge 0$. Più in generale, comunque, \( \vert \sin{x} \vert \le \vert x \vert \), per ogni $x \in \mathbb R$. Dimostrarlo con Lagrange non è difficile, provaci (fissato $x >0$, applica il teorema sull'intervallo $[0,x]$ a una "opportuna"
Mi preme tuttavia far notare una cosa: la disuguaglianza in questione si dimostra con metodi elementari (serve per dimostrare ad esempio il limite notevole del seno, $sinx/x \to 1$ per $x \to 0$). Ora se tu la vuoi dimostrare con Lagrange solo per fare un "esercizio di stile" (sul th. in questione), allora ok, non c'è problema e la strada è quella che ti ho tracciato sommariamente sopra. Se invece vuoi dimostrarla diciamo in un ambiente "formale", allora non puoi usare Lagrange: il motivo è semplice. La disuguaglianza serve, come già osservato, per dimostrare il limite notevole del seno, il quale a sua volta serve per dimostrare che la derivata del seno è il coseno, risultato che tu stai usando ora. Quindi: o dimostri in altro modo che la derivata del seno è il coseno (basta dimostare che è una funzione limitata in valore assoluto da $1$) oppure stai facendo un ragionamento circolare, che non va bene.
Ok grazie su questo mi sono sbloccato, per la seconda domanda?
Per la seconda domanda, devi usare la formula di Taylor con il resto di Lagrange, come già detto dall'esercizio.
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