Lagrange

[contrattivo93]

Salve a tutti, vorrei dimostrare che se data una funzione g derivabile in (c,d) esiste un $ alpha $ appartenente a (c,d) t.c.

$ (d*g(c)-c*g(d))/(d-c)=g(alpha )-alpha *f'(alpha ) $

Ho provato a sommare e dividere per $ d*g(d)-d*g(d) $ oppure $ c*g(c)-c*g(c) $ applicando il teorema di lagrange ma non riesco ad ottenere nessun risultato, forse perchè dovrei usare qualche accorgimento, a qualcuno di voi viene in mente qualche possibile soluzione?
Grazie in anticipo!!

[Noisemaker]

e $f'$ cos è?

[contrattivo93]

Scusate tremendamente, grazie per avermi fatto accorgere del mio sbaglio, al posto di f' è g'

[Noisemaker]

prova a considerare la funzione $F(x)$ definita cosi

\begin{align*}
F(x)&=g(x)-f(x),\qquad\mbox{dove}\\\\
f(x)&=d\cdot g(c)-\frac{\left[c\cdot g(d)-d\cdot g(c)\right]}{d-c}\cdot (x-c)
\end{align*}

e vedere se sono verificate le ipotesi del teorema di Rolle a $F(x)$

[contrattivo93]

Scusa, faccio un po di fatica a vederlo

[Noisemaker]

si hai ragione come strategia non va bene ...

[contrattivo93]

ci deve essere qualche particolare accorgimento forse?

[Noisemaker]

ci sto lavorando !

[Rigel1]

Se \(0\not\in [c,d]\) puoi applicare il teorema di Rolle alla funzione
\[
h(x) = \frac{(d-c)g(x) + c g(d) - d g(c)}{x}\,.
\]
Prova a vedere se ti viene in mente qualcosa per trattare il caso \(0\in [c,d]\).

[contrattivo93]

e come sei riuscito ad ottenere questa funzione h(x) in base alla precedente?

[Rigel1]

Guardando la derivata a secondo membro, viene in mente di applicare il teorema di Cauchy alle funzioni \(\frac{g(x)}{x}\) e \(\frac{1}{x}\); a questo punto ho riscritto la funzione alla quale applicare direttamente il teorema di Rolle.

[Rigel1]

Un'aggiunta: nel caso \(0\in [c,d]\) temo che il risultato sia falso (basta considerare \(g(x) = x^2\) nell'intervallo \([-1,1]\)).

[contrattivo93]

Grazie, veramente molto utile e sopratutto intuitivo!!!

[Rigel1]

"contrattivo93":Grazie, veramente molto utile e sopratutto intuitivo!!!

Hai proposto tu l'esercizio, non io!