L'aderenza è un chiuso
Lemma: L'aderenza di un insieme $F$ è un insieme chiuso.
Dimostrazione:
Basta dimostrare che il complementare di $A(F)$ è aperto. Sia quindi $bar x in "C" (A(F))$.
$bar x notin A(F) Rightarrow EE U_(bar x)$ intorno di $bar x$ : $U_(bar x) nn F$ sia vuoto.
A questo punto non mi è chiaro cosa viene fatto: "Esiste $W_(bar x)$ intorno di $bar x$ tale che $AA w in W_(bar x)$ , $U_(bar x)$ sia un intorno di $w$."
Non capisco se tutto questo significa che bisogna prendere un intorno $W_(bar x)$ di $bar x$ che sia contenuto in $U_(bar x)$.
Se così fosse, allora non sarebbe difficile concludere; infatti, dato un punto $bar x$ che non sia di aderenza per $F$, $EE W_(bar x)$ tale che per ogni punto $w$ di $W_(bar x)$ esiste a sua volta un intorno $U_(bar x)$ in cui non cade nessun punto di $F$.
Sbaglio?
Dimostrazione:
Basta dimostrare che il complementare di $A(F)$ è aperto. Sia quindi $bar x in "C" (A(F))$.
$bar x notin A(F) Rightarrow EE U_(bar x)$ intorno di $bar x$ : $U_(bar x) nn F$ sia vuoto.
A questo punto non mi è chiaro cosa viene fatto: "Esiste $W_(bar x)$ intorno di $bar x$ tale che $AA w in W_(bar x)$ , $U_(bar x)$ sia un intorno di $w$."
Non capisco se tutto questo significa che bisogna prendere un intorno $W_(bar x)$ di $bar x$ che sia contenuto in $U_(bar x)$.
Se così fosse, allora non sarebbe difficile concludere; infatti, dato un punto $bar x$ che non sia di aderenza per $F$, $EE W_(bar x)$ tale che per ogni punto $w$ di $W_(bar x)$ esiste a sua volta un intorno $U_(bar x)$ in cui non cade nessun punto di $F$.
Sbaglio?
Risposte
Mi sembra che il problema stia nel fatto che gli intorni non sono necessariamente aperti.
A parere mio sarebbe stato più semplice dire che, per definizione di intorno, esiste un aperto $V$ tale che $\bar x\in V\subset U_{\bar x}$. Quindi $V$, oltre a essere intorno di $\bar x$ è intorno di tutti i suoi punti. Questo ti serve perché implica che ogni $x$ di $V$ ha un intorno (lo stesso $V$) che non interseca $A(F)$ e quindi $x\in C(A(F))$. Ne segue che $\bar x$ è interno a $C(A(F))$ ed essendo $\bar x$ arbitrario hai provato che $C(A(F))$ è aperto.
Non puoi ragionare direttamente su $U_{\bar x}$ perché non è detto che sia intorno di ogni suo punto - potrebbe essere una palla chiusa di raggio positivo centrata in $\bar x$.
A parere mio sarebbe stato più semplice dire che, per definizione di intorno, esiste un aperto $V$ tale che $\bar x\in V\subset U_{\bar x}$. Quindi $V$, oltre a essere intorno di $\bar x$ è intorno di tutti i suoi punti. Questo ti serve perché implica che ogni $x$ di $V$ ha un intorno (lo stesso $V$) che non interseca $A(F)$ e quindi $x\in C(A(F))$. Ne segue che $\bar x$ è interno a $C(A(F))$ ed essendo $\bar x$ arbitrario hai provato che $C(A(F))$ è aperto.
Non puoi ragionare direttamente su $U_{\bar x}$ perché non è detto che sia intorno di ogni suo punto - potrebbe essere una palla chiusa di raggio positivo centrata in $\bar x$.
Ma quale definizione usa il tuo libro di aderenza? Perché il mio utilizza questa definizione: "La chiusura (o aderenza) di un insieme $S$, denotata con $bar(S)$, è definita come il più piccolo chiuso contenente $S$", quindi in questo caso non ci sarebbe nulla da dimostrare. Però, si usano anche altre definizioni e mi sembra il tuo caso.
Ti ringrazio Vicious. Questa dimostrazione mi resta indigesta;
rifletterò su quello che mi hai scritto in un momento di maggiore lucidità.
rifletterò su quello che mi hai scritto in un momento di maggiore lucidità.
"Antimius":
Ma quale definizione usa il tuo libro di aderenza? Perché il mio utilizza questa definizione: "La chiusura (o aderenza) di un insieme $S$, denotata con $bar(S)$, è definita come il più piccolo chiuso contenente $S$", quindi in questo caso non ci sarebbe nulla da dimostrare. Però, si usano anche altre definizioni e mi sembra il tuo caso.
Definizione: La chiusura di $S$ è il più piccolo chiuso che contiene $S$ (l'intersezione di tutti i chiusi che contengono $S$).
Mentre l'aderenza di $S$ è definita come l'insieme dei punti aderenti ad $S$. Un punto $x$ è di aderenza per $S$ se in ogni intorno del punto $x$ cadono punti di $S$ (non necessariamente distinti dal punto).
Allora come teorema ho il fatto che l'aderenza di un insieme $S$ coincide con la chiusura dell'insieme $S$ (cosa che non è proprio ovvia, dalle definizioni che ho).
Infatti la dimostrazione si articola in tre passaggi: 1) L'aderenza di un insieme $S$ è un insieme chiuso. 2) L'aderenza di $S$ contiene $S$ (ovvio!).
3) Ogni volta che ho un insieme $K$ chiuso che contiene $S$, allora l'aderenza di $S$ è contenuta in $K$.
Il lemma sul quale avevo dei dubbi corrisponde al punto 1) della dimostrazione.
Dunque - parlando del punto 1 -vuoi far vedere che il complementere $C(A(F))$ è aperto.
Conviene mettere in evidenza un fatto:
(*) $x\notin A(F)$ se e solo se esiste un intorno $U_x$ di $x$ tale che $U_x\cap F=\emptyset$
In effetti se ogni intorno $U$ di $x$ intersecasse $F$ allora, per definizione, $x$ sarebbe aderente ad $F$.
Prendiamo dunque $\bar x$ fuori da $A(F)$ e sia $U_{\bar x}$ un intorno di $\bar x$ tale che $U_{\bar x}\cap F=\emptyset$
Ora ti farebbe comodo trovare che OGNI $x$ in $U_{\bar x}$ ammette un intorno $U_x$ disgiunto da $F$; se ciò è vero ne segue che ogni $x$ di $U_{\bar x}$ non è in
$A(F)$ (per (*)) e quindi $\bar x$ ammette tutto un intorno di punti fuori da $A(F)$: dunque $\bar x$ è interno a $C(A(F))$ ed essendo $\bar x$ arbitrario trovi che $C(A(F))$ è aperto.
A priori $U_{\bar x}$ non ha questa proprietà. Ma puoi usare il fatto che DENTRO $U_{\bar x}$ trovi (per definizione di intorno) un aperto $V$ che contiene $\bar x$ e che quindi è un intorno sia di $\bar x$ che di tutti i suoi altri punti e questo $V$ va benissimo ai tuoi scopi.
Conviene mettere in evidenza un fatto:
(*) $x\notin A(F)$ se e solo se esiste un intorno $U_x$ di $x$ tale che $U_x\cap F=\emptyset$
In effetti se ogni intorno $U$ di $x$ intersecasse $F$ allora, per definizione, $x$ sarebbe aderente ad $F$.
Prendiamo dunque $\bar x$ fuori da $A(F)$ e sia $U_{\bar x}$ un intorno di $\bar x$ tale che $U_{\bar x}\cap F=\emptyset$
Ora ti farebbe comodo trovare che OGNI $x$ in $U_{\bar x}$ ammette un intorno $U_x$ disgiunto da $F$; se ciò è vero ne segue che ogni $x$ di $U_{\bar x}$ non è in
$A(F)$ (per (*)) e quindi $\bar x$ ammette tutto un intorno di punti fuori da $A(F)$: dunque $\bar x$ è interno a $C(A(F))$ ed essendo $\bar x$ arbitrario trovi che $C(A(F))$ è aperto.
A priori $U_{\bar x}$ non ha questa proprietà. Ma puoi usare il fatto che DENTRO $U_{\bar x}$ trovi (per definizione di intorno) un aperto $V$ che contiene $\bar x$ e che quindi è un intorno sia di $\bar x$ che di tutti i suoi altri punti e questo $V$ va benissimo ai tuoi scopi.
Chiarissimo, grazie infinite.
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