Lacune dell'insieme dei Numeri Razionali

[giocind_88]

Buonasera a tutti. Avrei una domanda da porre: Riguardo le sezioni di Dedekind dei numeri razionali, e delle cosidette LACUNE, oltre il noto elemento separatore sqrt(2) (da cui ad esempio discende che Q non è completo), VI SONO ALTRE LACUNE IN Q? Se sì, da cosa sono costituite?
Grazie mille in anticipo a voi.
Saluti

[Rigel1]

Tutti i numeri irrazionali?

[giocind_88]

Ah sì, certamente . Intendevo se esiste un teorema specifico, un risultato che possa elencare tutte le lacune possibili di Q ...Impossibile,forse :/ !?

[gio73]

"gi88":Ah sì, certamente . Intendevo se esiste un teorema specifico, un risultato che possa elencare tutte le lacune possibili di Q ...Impossibile,forse :/ !?

mmm... attendendo l'intervento di Rigel... credo che le lacune non siano "elencabili", in tal caso sarebbero tante quanti sono i numeri razionali e invece sono molte, molte di più. (spero di non aver detto corbellerie)

[Rigel1]

Se per elencare si intende "scrivere in successione" vale quando detto da gio73; se si intende qualcos'altro, non conosco altre caratterizzazioni.
Certo, poi i numeri irrazionali li puoi ulteriormente suddividere in algebrici e trascendenti (o in tutti i modi che ti vengono in mente), ma non credo che questo abbia a che vedere con la tua domanda.

[giocind_88]

Grazie mille ad entrambi!!! .Un ultimo dubbio: Le lacune sarebbero elencabili nel caso fossero quanti i razionali poichè Q è NUMERABILE?Sarebbe per tale motivo? Intuitivamente anch'io condivido il fatto che ne siano molte di più, però se dovessi dare una "giustificazione"mi troverei un pò in difficoltà. Potreste aiutarmi ? Grazie mille in anticipo a voi .
Buona giornata
Saluti

[Rigel1]

Si può dimostrare che l'insieme dei numeri reali ha cardinalità maggiore del numerabile (si dimostra per assurdo utilizzando la classica costruzione diagonale di Cantor che puoi trovare su qualsiasi libro di analisi 1 pre-riforma; se non ne possiedi uno guarda su wikipedia).

[giocind_88]

Grazie mille!! Quindi, se ho capito bene, il fatto che non possiamo elencare tutte le possibili lacune, è perchè siamo nella situazione che le lacune siano tutto ciò al di fuori dei numeri razionali (e interi) per cui entra in gioco la cardinalità maggiore del numerabile di R?

[Rigel1]

Sì (anche se, a monte di tutto, non ho capito da dove nasce la necessità di "elencare le lacune").

[giocind_88]

Grazie . Nessun motivo preciso, era stata una mia riflessione a cui pensavo ci potesse essere una data spiegazione