Lacune col valore assoluto

[Tarab1]

Buon giorno a tutti,
apro questo thread perchè, purtroppo, mi porto dietro dal liceo delle lacune di matematica. Una di queste è lo studio del valore assoluto.
In pratica non so come comportarmi quando ho un valore assoluto del tipo
$ |x - 6| $
oppure
$ |x^2 - x + 5| $

Insomma, non riesco a togliere il modulo e ricavarmi le disequazioni per ogni valore assoluto.
Potresti darmi qualche dritta?

Grazie.

[marygrazy]

ma c'è il segno di $=$ o $<$ o $>$?

[Tarab1]

Vi posto un esempio così da essere il più chiaro possibile:

Determinare il dominio della funzione $ f(x)= log_(3/2) |(x+1) / (x-4)| $

In pratica non riesco a togliere il modulo per studiare seperatamente le varie funzioni.

[Aliseo1]

"Tarab":Determinare il dominio della funzione $ f(x)= log_(3/2) |(x+1) / (x-4)| $

Beh per quali valori di $x$ il logaritmo è definito? Di certo per $x >0$ e, quindi, hai che $ |(x+1) / (x-4)| >0 $. Ora penso che sai come procedere (fai riferimento alla proprietà del valore assoluto)

[marygrazy]

Il modo migliore consiste nello studiare il segno di tutti i moduli che compaiono nella disequazione e quindi separare la soluzione in più soluzioni parziali da riunire poi alla fine...
All'interno della funzione compaiono due moduli
Se tu discuti il contenuto di tali moduli, puoi scoprire per quali valori di x essi risultano positivi o negativi. Quindi:

$x+1 ≥ 0$ -------------------> $x ≥ -1$
$x-4 ≥ 0$ ----------------> $x ≥ 4$

questo punto puoi costruire un grafico dei segni del tipo:

._______________-1_______4____________
1° Modulo ------------|+++++++++++++++
2° Modulo -----------------------|+++++++++

Questo grafico ti dice semplicemente che per x<-1 il primo modulo è negativo (e quindi cambiando il segno di ciò che si trova al suo interno) e lo è anche il secondo modulo .Lo stesso ragionamento vale anche per l'altri 2 intervalli

A questo punto, la soluzione iniziale si può "scomporre" nella soluzione dei 3 sistemi

{ x ≤ -1
{ ln_(2/3)((-x-1)/(-x-4))

{ -1< x < 4
{ ln_(2/3)((x+1)/(-x-4))
{ x>4
{ ln_(2/3)((x+1)/(x-4))



Ognuno di questi sistemi va risolto separatamente ricavando le relative soluzioni S1, S2, S3

[Tarab1]

Mi spiace ma non ho capito.
Ho capito che bisogna esaminare separatamente i vari moduli, imponendo ognuno di essi $ >= 0 $ o $ > 0 $;
poi faccio lo schemino per vedere il segno e in questo esempio avrei un segno positivo per $ x <= -1 $ e per $ x >= 4 $, un segno negativo per $ -1 < x < 4 $ .
Ma poi non ho, però, capito come togliere questo valore assoluto e ottenere i vari sistemi.
Potreste essere un po' più chiari?

Grazie mille.

[marygrazy]

se nel primo intervallo.. cioè per x<-1 entrambi i moduli sono negativi devi cambiare di segno il contenuto dei valori assoluti...
se sen secondo intrevallo uno è negativo uno è positivo devi cambiare il segno a quello negativo e l'altro resta con il proprio segno..
lo stesso ragionamento per l'ultimo intervallo

[Tarab1]

A ecco forse ho capito.
In pratica, seguendo il disegnino che hai fatto tu, se qualcosa del tipo

______|________-1_________4________

1° mod|----------|++++++++|+++++++

2° mod|----------|----------|+++++++

Allora avrò:

per $ x<-1 $ : segni negativi a entrambi i moduli
per $ -1 per $ x >4 $ i segni restano invariati per entrambi i moduli.

Puoi confermarmi almeno questo? Sarebbe già tanto.

Grazie.

[marygrazy]

esatto!

[legendre]

Per definizione di modulo la frazione dovra' essere positiva sempre.Avrai 2 casi:
all'interno del modulo puo' essere $(x+1)/(x-4)>0$ il che e' verificata per i valori di $x<-1,x>4$ per cui sara' $log((x+1)/(x-4))$.Fin qui nessun problema.
metti invece il caso che la frazione $(x+1)/(x-4)<0$ cioe' $-1

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[Tarab1]

"legendre":Per definizione di modulo la frazione dovra' essere positiva sempre.Avrai 2 casi:
all'interno del modulo puo' essere $(x+1)/(x-4)>0$ il che e' verificata per i valori di $x<-1,x>4$ per cui sara' $log((x+1)/(x-4))$.Fin qui nessun problema.
metti invece il caso che la frazione $(x+1)/(x-4)<0$ cioe' $-1

Stando a quanto dici tu, allora viene a cadere tutto il ragionamento che ho fatto nel precedente post basandomi sulla spiegazione di marygrazy. O sbaglio?
In pratica devo guardare il segno (cioè la somma dei "----" e i "++++") e vedere se generano segno positivo o negativo?

[legendre]

Semplicemente hai 2 logaritmi quindi 2 funzioni,quindi 2 grafici:${(log(-(x+1)/(x-4)),-14):}$

[legendre]

Un esempio piu' semplice:sia $f(x)= |x-1 | $ allora dovra' essere $f(x)>0$ per definizione di modulo
1)studia il segno di $x-1$.Essa e' positiva per $x-1>0$ ,cioe' $x>1$ Allora sara':$f(x)=x-1$ che risultera' sempre positiva.
2)studiando il segno $f(x)=x-1$ e' negativa per $x-1<0$,cioe' $x<1$.Ma $f(x)$ deve risultare positiva:allora premetti il meno e cioe' $f(x)=-(x-1)$ e $f(x)$ e' positiva
quando appunto $x<1$.Quindi la la tua funzione $f(x)$ si spezza :
$f(x)={(x-1,x>1),(-x+1,x<1):}$.Nota che $f(x)>0$ sempre nei 2 casi

[Tarab1]

Spero di aver capito...
Grazie delle preziose informazioni.
Per caso avreste qualche link da consigliarmi per approfondire:
- Valore Assoluto;
- Studio del segno di una funzione ?

Su wikipedia ho già cercato, ma si parla molto in generale.

[roby92100]

"Tarab":Spero di aver capito...
Grazie delle preziose informazioni.
Per caso avreste qualche link da consigliarmi per approfondire:
- Valore Assoluto;
- Studio del segno di una funzione ?

Su wikipedia ho già cercato, ma si parla molto in generale.

non so se ti è già stato dato xk non ho letto tutta la discussione ma ti do un consiglio sul metodo da utilizzare per studiare queste funzioni...

in generale una f(x)=|x| puoi riscriverla come $ f(x)={ ( +(x), per x>0 ),( -(x), per x<0 ):} $ quindi metti il meno davanti e questa funzione vale per quello che c'è dentro il valore assoluto <0, mentre la lasci cosi com'è e questa vale per quello che c'è dentro il valore assoluto maggiore di zero...per farti capire un altro es f(x) = |x-2| allora sarebbe

f(x)= $ { ( +(x-2),per x-2>0,cioe, x>2 ),( -(x-2), per x-2<0,cioe,x<2 ):} $

[Tarab1]

Sperodi aver capito come trattare i valori assoluti.
Mi metto a fare qualche esercizio.
Se avete altre dritte da darmi, fatelo pure. Saranno bene accette!