La trasformata di Cauchy diverge in 1

[ficus2002]

Ho trovato questo problema in Lang Complex Analysis capitolo VIII.

Si consideri la funzione $g$ definita sulla circonferenza unitaria da:

$$g(e^{ix})=\begin{cases}
-\frac x{\pi\log(4/\pi)} & -\pi\leq x\leq 0\\
\frac 1{\log(4/x)} & 0 \end{cases}$$

La funzione $g$ è continua ed è possibile calcolare la sua trasformata di Cauchy:

$$h(z)=\frac 1{2\pi i}\oint_{|\zeta|=1}\frac{g(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta$$
per $z$ nel disco unitario.

Si chiede di provare che $h(z)\to \infty$ per $z\to 1$ sull'asse reale.

Ho provato a risolvere questo problema esplicitando l'integrale che definisce $h$, e riconducendo a dimostrare che

$$\int_0^\pi\frac{(1-\epsilon)\sin(x)}{\log(4/x)(2(1-\epsilon)(1-\cos(x))+\epsilon^2)}dx\to\infty$$
per $\epsilon\to 0^+$.

Tuttavia sto trovando difficoltà a dimostrare che tale integrale diverge: ho tentato a maggiorare la funzione integranda con una più semplice, ma ottengo sempre un integrale convergente ...

[j18eos]

Provato con sostituire \(\displaystyle x\) con \(\displaystyle2t\) e poi applicare le formule di bisezione?

[ficus2002]

"j18eos":Provato con sostituire \(\displaystyle x\) con \(\displaystyle2t\) e poi applicare le formule di bisezione?

Il primo passaggio che mi è sembrato utile è integrare per parti, in modo da ottenere l'integrale:
$$\frac 12\int_0^\pi\frac{-\log(2(1-\epsilon)(1-\cos(x))+\epsilon^2)}{x\log^2(4/x)}dx$$
Con la tua sostituzione si ottiene:
$$\frac 12\int_0^{\frac\pi 2}\frac{-\log(4(1-\epsilon)\sin^2(t)+\epsilon^2)}{t\log^2(2/t)}dt$$.
In ogni caso, secondo me si tratta di maggiorare la funzione al numeratore $-\log(4(1-\epsilon)\sin^2(t)+\epsilon^2)$ che è la "parte" responsabile della divergenza a $\infty$. In particolare, ho tentato:
$$-\log(4(1-\epsilon)\sin^2(t)+\epsilon^2)\geq -\log(4(1-\epsilon)t^2+\epsilon^2)$$. Dato che $t\log^2(2/t)\leq C\sqrt t$ per qualche costante $C>0$, ci si riconduce a:
$$\frac 12\int_0^{\frac\pi 2}\frac{-\log(4(1-\epsilon)t^2+\epsilon^2)}{\sqrt{t}}dt$$

[ficus2002]

Problema risolto; soluzione in spoiler:

$$\int_0^\pi\frac{\sin(x)}{\log(4/x)(2(1-\epsilon)(1-\cos(x))+\epsilon^2)}dx$$
La funzione integranda è non negativa, dato che $\sin(x)\geq \frac x2$ per $0\leq x\leq 1$
$$\int_0^\pi\frac{\sin(x)}{\log(4/x)(2(1-\epsilon)(1-\cos(x))+\epsilon^2)}dx\geq \int_0^1\frac{\sin(x)}{\log(4/x)(2(1-\epsilon)(1-\cos(x))+\epsilon^2)}dx\\ \geq\frac 12\int_0^1\frac x{\log(4/x)(2(1-\epsilon)(1-\cos(x))+\epsilon^2)}dx$$
Si ha $2(1-\epsilon)(1-\cos(x))\leq 2(1-cos(x))\leq x^2$, da cui:
$$\int_0^1\frac x{\log(4/x)(2(1-\epsilon)(1-\cos(x))+\epsilon^2)}dx\geq\int_0^1\frac x{\log(4/x)(x^2+\epsilon^2)}dx$$.
Con la sostituzione $x=\sqrt t$ si ottiene:
$$\int_0^1\frac x{\log(4/x)(x^2+\epsilon^2)}dx=\int_0^1\frac 1{-\log(t/16)(t+\epsilon^2)}dt$$
mentre con la sostituzione $u=t+\epsilon^2$:
$$\int_0^1\frac 1{-\log(t/16)(t+\epsilon^2)}dt=\int_{\epsilon^2}^{1+\epsilon^2}\frac 1{-u\log((u-\epsilon^2)/16)}du\geq \int_{\epsilon}^1\frac 1{-u\log((u-\epsilon^2)/16)}du$$.
Per $\epsilon\leq u\leq 1$ si ha:
$$\frac{-\log((u-\epsilon^2)/16)}{-\log(u/16)}=\frac{-\log(u/16)-\log(1-\epsilon^2/u)}{-\log(u/16)}=1+\frac{-\log(1-\epsilon^2/u)}{-\log(u/16)}\\ \leq 1+\frac{-\log(1-\epsilon)}{-\log(1/16)}\leq 2$$
quindi $0<-\log((u-\epsilon^2)/16)<-2\log(u/16)$, da cui:
$$\int_{\epsilon}^1\frac 1{-u\log((u-\epsilon^2)/16)}du\geq\frac 12\int_{\epsilon}^1\frac 1{-u\log(u/16)}du\to +\infty$$
per $\epsilon\to 0^+$.