La SERIE CONVERGE?

firimbindr · 2007-06-26CEST10:23:48+02:00

"Devo determinare se la serie converge:\r\n\r\n$sum_{n=1}^{+oo}(logn)\//n^2$\r\n\r\nApplico per prima cosa la conzione necessaria ma non sufficiente, ossia\r\n\r\n$lim_(x->+oo)logn\//n^2=(+oo)\//(+oo)$ che con De l'Hopital viene $lim_(x->+oo)(1\//n)\//(2n)=(2n)\//n=2$ quindi la serie non converge\r\n\r\n\r\nLa serie per\u00f2 dovrebbe convergere...dove ho sbagliato?\r\n\r\ngrazie"

_Tipper

26 giu 2007, 08:43

Eh ma... $\sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n}$ diverge... o forse non ho capito quello che intendevi...

elgiovo

26 giu 2007, 08:47

La serie armonica diverge, ma se un'altra serie è appena al di sotto converge
(notare il segno di minoranza stretta tra $logn/n^2$ ed $1/n$).

_Tipper

26 giu 2007, 08:48

Eh be', non avevo capito allora.

firimbindr

26 giu 2007, 08:48

Ok quindi essendo $1/(2x^2)$ una serie armonica generalizzata con esponente >1 allora $sum_{n=1}^{+oo}an$ converge

Potevo risolvere la serie applicando il teorema dell'infinitesimo (o un'altro teorema)?

$lim_(n->+oo)(logn)/(n^2)/(1/(n^2))=lim_(n->+oo)logn=+oo$ ?!?!?!?

grazie

Fioravante Patrone1

26 giu 2007, 10:22

"elgiovo":
La serie armonica diverge, ma se un'altra serie è appena al di sotto converge
(notare il segno di minoranza stretta tra $logn/n^2$ ed $1/n$).

[size=150]FALSO[/size]

è una cosa tipica su cui si boccia bene

cozzataddeo

26 giu 2007, 10:46

"Fioravante Patrone":
[quote="elgiovo"]La serie armonica diverge, ma se un'altra serie è appena al di sotto converge
(notare il segno di minoranza stretta tra $logn/n^2$ ed $1/n$).

[size=150]FALSO[/size]

è una cosa tipica su cui si boccia bene

[/quote]
Provo a recuperare vecchi ricordi di Analisi I.
Di certo la serie armonica diverge. Il termine generico della serie armonica è infinitesimo di ordine $1$ per $n->+oo$.
Mi pare di ricordare che una serie converge se il termine generico è infinitesimo di ordine superiore ad un numero reale maggiore di $1$. Non è sufficiente dire che è un infinitesimo di ordine superiore a $1$ (mi pare che ci sia qualche controesempio che tira in ballo proprio la funzione logaritmo cha ha un ordine di infinito maggiore di $0$ ma minore di qualunque numero reale maggiore di $0$).

Non chiedetemi quale sia il "numero" che rappresenta l'ordine di infinito del logaritmo perché non lo so...

Per la serie in questione, quindi, si può ritoccare il ragionamento di elgiovo in questo modo:

$logn/(n^2)
e quindi la serie converge.

Spero di non aver snocciolato una serie di fregnacce. In ogni caso conto che qualcuno di piú competente possa far luce sull'argomento in modo definitivo...

elgiovo

26 giu 2007, 10:47

In tal caso devo aver capito male, chiedo scusa.

Fioravante Patrone1

26 giu 2007, 11:06

"Cozza Taddeo":

Non chiedetemi quale sia il "numero" che rappresenta l'ordine di infinito del logaritmo perché non lo so...

non ti preoccupare se non lo sai, visto che non c'è!

un paio di esempi:

$ \frac{1}{n \cdot \ln n }$
diverge:
l'integrale improprio da 777 a $+oo$ di $ \frac{1}{x \cdot \ln x }$ diverge, visto che una primitiva è $\ln (\ln x)$

$ \frac{1}{n \cdot \ln^2 n }$
converge:
l'integrale improprio da 777 a $+oo$ di $ \frac{1}{n \cdot \ln^2 n }$ convege, visto che una primitiva è $ - \frac{1}{\ln x }$

ma si può andare avanti, usando $\ln (\ln x)$: $ \frac{1}{n \cdot \ln n \cdot \ln (\ln n)}$ etc...

cozzataddeo

26 giu 2007, 12:10

"Fioravante Patrone":
[quote="Cozza Taddeo"]
Non chiedetemi quale sia il "numero" che rappresenta l'ordine di infinito del logaritmo perché non lo so...

non ti preoccupare se non lo sai, visto che non c'è!
[/quote]
Quindi l'ordine di infinito del logaritmo non è rappresentato da un numero però "esso" (qualunque cosa sia) è minore di $1$? Ma se non è un numero come faccio a confrontarlo con $1$ che è un numero reale?
Io ho sempre pensato che fosse un numero, non reale, strano quanto si vuole, studiato dai matematici nelle grigie giornate di pioggia, ma comunque un numero.
Invece c'è qualcosa che mi sfugge (da piú di 10 anni oltretutto...).

Fioravante Patrone1

26 giu 2007, 12:27

"Cozza Taddeo":
[quote="Fioravante Patrone"][quote="Cozza Taddeo"]
Non chiedetemi quale sia il "numero" che rappresenta l'ordine di infinito del logaritmo perché non lo so...

non ti preoccupare se non lo sai, visto che non c'è!
[/quote]
Quindi l'ordine di infinito del logaritmo non è rappresentato da un numero però "esso" (qualunque cosa sia) è minore di $1$? Ma se non è un numero come faccio a confrontarlo con $1$ che è un numero reale?
Io ho sempre pensato che fosse un numero, non reale, strano quanto si vuole, studiato dai matematici nelle grigie giornate di pioggia, ma comunque un numero.
Invece c'è qualcosa che mi sfugge (da piú di 10 anni oltretutto...).

[/quote]

descrivo rapidamente (tralasciando "dettagli", tipo l'insieme di def, il fatto che i denominatori coinvolti siano divesi da zero, etc.) come è la situazione

parliamo di ordini di infinito

dico che $f$ e $g$ sono infiniti dello stesso ordine (diciamo per $x$ che tende da qualche parte) se il limite "per $x$ che tende da qualche parte" di $f/g$ esiste ed è un numero reale diverso da zero

dico che $f$ è un infinito di ordine $a$ rispetto a $g$ se il lim di $f/(g^a)$ esiste ed è un numero reale diveso da zero

ora, non è detto che si riesca a trovare $a$ t.c. quanto detto sopra avvenga

es: $f(x) = x \cdot \ln x$, $g(x) = x$. Se $a \le 1$ il limite è infinito, se $a > 1$ il limite è zero

e allora, cosa si dice in questi casi?
con locuzione alquanto infelice (ma meritoria: si boccia bene, come dicevo!) si dice che $f$ è un infinito "di ordine superiore a 1" rispetto a $g$

la locuzione è infelice perché fa presumere che un odine di infinito ci sia, ma naturalmente così non è, come abbiamo visto

sarebbe un modo di dire da abrogare, ma se non si riesce a cambiare nome alla "teoria dei giochi" (io, nel mio piccolo, un contributo in tal senso l'ho dato), figuriamoci se si riesce a estirpare questa gramigna!