La relazione $lim_(n -> infty)||v_n||=0 $ può essere vera?
Sia $V$ uno spazio vettoriale normato e sia $v_n$ una successione di punti di $V$ tale che $v_n$ converge a $v_0!inV$
La relazione $lim_(n -> infty)||v_n||=0 $ può essere vera?
Avrei provato che non è possibile ed ho proseguito in questo modo:
Il teorema del completamento di uno spazio normato mi assicura che esiste uno spazio normato $U$ che è il completamento di $V$, inoltre esso è unico a meno di isomorfismi per cui posso porre $U=bar(V)$ ovvero è la chiusura di $V$, ne segue che $v_0inU$, quindi si calcola $||v_0||=||lim_(n->infty)v_n||$ che per la continuità della norma e la relazione data si può scrivere $||v_0||=lim_(n->infty)||v_n||=0$ ma questo significherebbe che necessariamente $v_0=0$ e questo non è possibile perché $v_0!inV$ e $0inV$.
Potete aiutarmi nel valutare questa dimostrazione oppure se potete indicarmi l'esistenza di un teorema simile?
Grazie
La relazione $lim_(n -> infty)||v_n||=0 $ può essere vera?
Avrei provato che non è possibile ed ho proseguito in questo modo:
Il teorema del completamento di uno spazio normato mi assicura che esiste uno spazio normato $U$ che è il completamento di $V$, inoltre esso è unico a meno di isomorfismi per cui posso porre $U=bar(V)$ ovvero è la chiusura di $V$, ne segue che $v_0inU$, quindi si calcola $||v_0||=||lim_(n->infty)v_n||$ che per la continuità della norma e la relazione data si può scrivere $||v_0||=lim_(n->infty)||v_n||=0$ ma questo significherebbe che necessariamente $v_0=0$ e questo non è possibile perché $v_0!inV$ e $0inV$.
Potete aiutarmi nel valutare questa dimostrazione oppure se potete indicarmi l'esistenza di un teorema simile?
Grazie
Risposte
Il succo del discorso è quello che dici tu, cioè dimostrare che $v_0=0$ e giungere ad un assurdo. Però secondo me il problema è mal posto: se dici che $v_n$ converge a $v_0$, allora fin dall'enunciato devi dire chi è $v_0$ (ovvero bisogna dire in che insieme sta, non basta dire che non sta in $V$).
billyballo2123 io appositamente non ho formalizzato a chi appartiene $v_0$ proprio per evidenziare che trascendo dalla conoscenza dello spazio che lo contiene, infatti dopo ho scritto che gli eventuali spazi "completi" che lo possono contenere sono tutti isomorfi tra di loro, in effetti la mia domanda si può così tradurre: è possibile avere una norma $||*||$, NON una seminorma, su uno spazio vettoriale $V$ con una successione $v_n$ di punti di $V$ non convergente a 0 mentre $||v_n||$ converge a $0$ ?
La domanda non è banale, almeno per me, perché se $v_n$ non converge ad un punto di $V$ allora $||v||!=0$ per ogni $vinV$ e $v!=0$ e quindi sembrerebbe che sia possibile.
La domanda non è banale, almeno per me, perché se $v_n$ non converge ad un punto di $V$ allora $||v||!=0$ per ogni $vinV$ e $v!=0$ e quindi sembrerebbe che sia possibile.
"randomize":
è possibile avere una norma ||⋅||, NON una seminorma, su uno spazio vettoriale $V$ con una successione $v_n$ di punti di $V$ non convergente a 0 mentre $||v_n||$ converge a $0$ ?
Se $||v_n||\to 0$ allora SICURAMENTE $v_n\to \mathbf{0}$ qualunque sia la norma. Questo è abbastanza banale, infatti
\[
\lim_{n\to+\infty} ||v_n-\mathbf{0}||=\lim_{n\to+\infty} ||v_n||=0,
\]
quindi per definizione $\v_n\to\mathbf{0}$.
ok billyballo2123, il problema allora era proprio banale, ero io che mi ero costruito una complessa dimostrazione quando poi era così semplice. grazie.
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