La regola di Leibnitz per funzioni di Sobolev
Buongiorno a tutti,
sto cercando di dimostrare formalemente che la regola di Leibnitz
$ \frac{\partial (uv)}{\partial x_i} = u \frac{\partial v}{\partial x_i} + v \frac{\partial u}{\partial x_i} $
vale anche per funzioni di Sobolev $u,v \in W^{1,p} (\mathbb{R} ^n)$.
Per farlo vorrei sfruttare i risultati di densita` delle funzioni regolari in $W^{1,p} (\mathbb{R} ^n$), con $p < \infty$.
Ho preso due successioni
$u_n \in C_0 ^{\infty} (\mathbb{R} ^n)$ che converga a $u$ in norma $W^{1,p}$,
$v_n \in C_0 ^{\infty} (\mathbb{R} ^n)$ che converga a $v$ in norma $W^{1,p}$,
per le quali il risultato e` senz'altro valido, e vorrei mostrare che l'uguaglianza passa al limite.
Esplicitando la definizione di derivata debole, e scaricando le derivate su una $\phi \in C_0 ^{\infty}$ ho
$\int \frac{\partial (u_n v_n)}{\partial x_i} \phi = - \int u_n v_n \frac{\partial \phi }{\partial x_i}$
che per regolarita` delle $u_n, v_n$, usando Leibnitz, posso riscrivere come
$\int u_n \frac{\partial v_n}{\partial x_i} \phi + \int v_n \frac{\partial u_n}{\partial x_i} \phi = - \int u_n v_n \frac{\partial \phi }{\partial x_i}$
A questo punto vorrei concludere dicendo che la convergenza di $u_n$ a $u$ in norma $W^{1,p}$ e di
$v_n$ a $v$ in norma $W^{1,p}$ mi garantisce che posso passare al limite su tutti e tre i membri ottenendo
$\int u \frac{\partial v}{\partial x_i} \phi + \int v \frac{\partial u}{\partial x_i} \phi = - \int u v \frac{\partial \phi }{\partial x_i}$
che mi darebbe la validita` della regola di Leibnitz per funzioni $W^{1,p}$.
Tuttavia non so giustificare formalmente il passaggio al limite.
Suggerimenti?
sto cercando di dimostrare formalemente che la regola di Leibnitz
$ \frac{\partial (uv)}{\partial x_i} = u \frac{\partial v}{\partial x_i} + v \frac{\partial u}{\partial x_i} $
vale anche per funzioni di Sobolev $u,v \in W^{1,p} (\mathbb{R} ^n)$.
Per farlo vorrei sfruttare i risultati di densita` delle funzioni regolari in $W^{1,p} (\mathbb{R} ^n$), con $p < \infty$.
Ho preso due successioni
$u_n \in C_0 ^{\infty} (\mathbb{R} ^n)$ che converga a $u$ in norma $W^{1,p}$,
$v_n \in C_0 ^{\infty} (\mathbb{R} ^n)$ che converga a $v$ in norma $W^{1,p}$,
per le quali il risultato e` senz'altro valido, e vorrei mostrare che l'uguaglianza passa al limite.
Esplicitando la definizione di derivata debole, e scaricando le derivate su una $\phi \in C_0 ^{\infty}$ ho
$\int \frac{\partial (u_n v_n)}{\partial x_i} \phi = - \int u_n v_n \frac{\partial \phi }{\partial x_i}$
che per regolarita` delle $u_n, v_n$, usando Leibnitz, posso riscrivere come
$\int u_n \frac{\partial v_n}{\partial x_i} \phi + \int v_n \frac{\partial u_n}{\partial x_i} \phi = - \int u_n v_n \frac{\partial \phi }{\partial x_i}$
A questo punto vorrei concludere dicendo che la convergenza di $u_n$ a $u$ in norma $W^{1,p}$ e di
$v_n$ a $v$ in norma $W^{1,p}$ mi garantisce che posso passare al limite su tutti e tre i membri ottenendo
$\int u \frac{\partial v}{\partial x_i} \phi + \int v \frac{\partial u}{\partial x_i} \phi = - \int u v \frac{\partial \phi }{\partial x_i}$
che mi darebbe la validita` della regola di Leibnitz per funzioni $W^{1,p}$.
Tuttavia non so giustificare formalmente il passaggio al limite.
Suggerimenti?
Risposte
Se vedi ad es. sul Brezis, Prop. 9.4, la regola di Leibniz è dimostrata per funzioni in \(W^{1,p} \cap L^{\infty}\).
In questo modo puoi fare l'ultimo passaggio usando il teor. di conv. dominata.
In questo modo puoi fare l'ultimo passaggio usando il teor. di conv. dominata.
Grazie per il riferimento!
Mi resta ancora un dubbio: senza richiedere l'appartenza delle funzioni anche a $L^\infty$
non e` quindi lecito usare la regola di Leibnitz?
(In particolare stavo utilizzando Leibnitz per cercare di ottenere informazioni sulla regolarita`
del prodotto di due funzioni $W^{1,p}$. E ora mi sto chiedendo se quanto ho fatto e` ammissibile.)
Mi resta ancora un dubbio: senza richiedere l'appartenza delle funzioni anche a $L^\infty$
non e` quindi lecito usare la regola di Leibnitz?
(In particolare stavo utilizzando Leibnitz per cercare di ottenere informazioni sulla regolarita`
del prodotto di due funzioni $W^{1,p}$. E ora mi sto chiedendo se quanto ho fatto e` ammissibile.)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo