La potenza seconda è continua ma non uniformemente continua
Sia $f:[0, +oo[-->RR tc AA x in [0,+oo[:f(x)=x^2$ continua, ma non uniformemente continua in $[0,+oo[$
Supponiamo per assurdo che f sia uniformemente continua
fissato $\epsilon>0, EE \delta_1>0 tc AAx,y in [0, +oo[ ,|x-y|< \delta : |x^2-y^2| < \epsilon$
Sia $x_0 in [0, +oo[$ e $0< \lambda < \delta_1$
consideriamo $x=x_0$ e $y=x_0+\lambda$ è evidente che $|x-y|= \lambda < \delta_1$ --> $|x_0^2-(x_0 +\lambda)^2|< \epsilon$
quindi $\lambda^2 +2 \lambda x_0 >= \epsilon$ Assurdo
Non ho capito l'assurdo.....
Supponiamo per assurdo che f sia uniformemente continua
fissato $\epsilon>0, EE \delta_1>0 tc AAx,y in [0, +oo[ ,|x-y|< \delta : |x^2-y^2| < \epsilon$
Sia $x_0 in [0, +oo[$ e $0< \lambda < \delta_1$
consideriamo $x=x_0$ e $y=x_0+\lambda$ è evidente che $|x-y|= \lambda < \delta_1$ --> $|x_0^2-(x_0 +\lambda)^2|< \epsilon$
quindi $\lambda^2 +2 \lambda x_0 >= \epsilon$ Assurdo
Non ho capito l'assurdo.....
Risposte
forse ottengo l'assurdo prendendo un y= radice di $2\lambdax_0$?
Un modo meno seccante di fare sto conto è usare un teorema di facile dimostrazione:
(prova a dimostrarlo), che si usa anche per confutare la continuità uniforme... Per fare ciò basta determinare due successioni $(x_n), (y_n) subseteq X$ tali che $lim | x_n - y_n| = 0$ e che $lim |f(x_n) - f(y_n)| != 0$.
Prova.
Siano $X subseteq RR$ non vuoto ed $f: X -> RR$.
La $f$ è uniformemente continua in $X$ se e solo se per ogni coppia di successioni $(x_n), (y_n) subseteq X$ tali che $lim | x_n - y_n| = 0$ risulta anche $lim |f(x_n) - f(y_n)| = 0$.
(prova a dimostrarlo), che si usa anche per confutare la continuità uniforme... Per fare ciò basta determinare due successioni $(x_n), (y_n) subseteq X$ tali che $lim | x_n - y_n| = 0$ e che $lim |f(x_n) - f(y_n)| != 0$.
Prova.
capito. grazie. forse ci provo domani. ma la domanda che ho fatto nel commento è giusta? è per capire cosa volesse dire la prof.
Prendendo $y=x+lambda$, la proprietà da dimostrare diventa:
\[
\forall \epsilon >0,\ \exists \delta >0:\quad \forall x \in \mathbb{R},\ \forall \lambda\in \mathbb{R},\quad |\lambda|<\delta \Rightarrow |\lambda^2 - 2 \lambda x| < \epsilon.
\]
Ciò equivale a dire che nell’insieme delle soluzioni della disequazione parametrica $|lambda^2 - 2x lambda|0$) si può isolare sempre un conveniente intorno di $0$ con semiampiezza $delta$ dipendente da $epsilon$ ed indipendente da $x$.
La disequazione equivale al sistema:
\[
\begin{cases}
\lambda^2 - 2x \lambda - \epsilon < 0\\
\lambda^2 - 2x \lambda + \epsilon > 0
\end{cases}\;.
\]
La prima disequazione ha $Delta/4 = x^2 + \epsilon >0$, dunque le sue soluzioni sono:
\[
x - \sqrt{x^2 + \epsilon} < \lambda < x + \sqrt{x^2 + \epsilon}\; ;
\]
la seconda ha $Delta/4 = x^2 - \epsilon >= 0 <=> |x| >= sqrt{epsilon}$, dunque ha come soluzioni:
\[
\begin{split}
\lambda \in \mathbb{R} &\text{, se } -\sqrt{\epsilon} < x < \sqrt{\epsilon} \\
\lambda \neq x &\text{, se } x = \pm \sqrt{\epsilon} \\
\lambda < x - \sqrt{x^2 - \epsilon}\ \lor \ \lambda > x + \sqrt{x^2 - \epsilon} &\text{, se } |x| > \sqrt{\epsilon}
\end{split}
\]
è da ciò segue che se $|x| > sqrt(epsilon)$ l’insieme delle soluzioni del sistema non contiene alcun intorno di $0$.
Dunque la funzione $f(x)=x^2$ non può essere u.c. in tutto $RR$.
P.S.: Questi calcoli sono noiosi assai, perciò probabile abbia sbagliato qualcosa. Ricontrollali.
Poi, prova ad usare il teorema che segnalavo più sopra per ottenere una dimostrazione più semplice e meno contosa.
\[
\forall \epsilon >0,\ \exists \delta >0:\quad \forall x \in \mathbb{R},\ \forall \lambda\in \mathbb{R},\quad |\lambda|<\delta \Rightarrow |\lambda^2 - 2 \lambda x| < \epsilon.
\]
Ciò equivale a dire che nell’insieme delle soluzioni della disequazione parametrica $|lambda^2 - 2x lambda|
La disequazione equivale al sistema:
\[
\begin{cases}
\lambda^2 - 2x \lambda - \epsilon < 0\\
\lambda^2 - 2x \lambda + \epsilon > 0
\end{cases}\;.
\]
La prima disequazione ha $Delta/4 = x^2 + \epsilon >0$, dunque le sue soluzioni sono:
\[
x - \sqrt{x^2 + \epsilon} < \lambda < x + \sqrt{x^2 + \epsilon}\; ;
\]
la seconda ha $Delta/4 = x^2 - \epsilon >= 0 <=> |x| >= sqrt{epsilon}$, dunque ha come soluzioni:
\[
\begin{split}
\lambda \in \mathbb{R} &\text{, se } -\sqrt{\epsilon} < x < \sqrt{\epsilon} \\
\lambda \neq x &\text{, se } x = \pm \sqrt{\epsilon} \\
\lambda < x - \sqrt{x^2 - \epsilon}\ \lor \ \lambda > x + \sqrt{x^2 - \epsilon} &\text{, se } |x| > \sqrt{\epsilon}
\end{split}
\]
è da ciò segue che se $|x| > sqrt(epsilon)$ l’insieme delle soluzioni del sistema non contiene alcun intorno di $0$.
Dunque la funzione $f(x)=x^2$ non può essere u.c. in tutto $RR$.
P.S.: Questi calcoli sono noiosi assai, perciò probabile abbia sbagliato qualcosa. Ricontrollali.
Poi, prova ad usare il teorema che segnalavo più sopra per ottenere una dimostrazione più semplice e meno contosa.
non è $|\lambda^2 + 2 \lambda x_0|< \epsilon$?
Vedi che avevo sbagliato qualcosa... Prova tu a fare i conti giusti ora che hai trovato l’errore!
(Cambiano due segni qui e là...)
(Cambiano due segni qui e là...)
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