La misura di Jordan e Lebesgue
PER JORDAN:Se considero X0 appartenente a R X0 è di misura nulla se: Per ogni epsilon>0 esiste un numero finito d'intervalli I1,I2,I3,....,In / X0 appartiene all'unione d'intervalli Ih con h che va da 1 a n (intero dell'unione ,quindi senza estremi) e la sommatoria m (In)
Cosa cambia per LEBASQUE: a me la definizione sembra uguale.
Se considero X0=[0,1] intersezione Q la sua misura è 0
X1=[0,1] - Q la sua misura è 1 Come mai?
X0+X1=[0,1]
Potete farmi capire meglio questa "sottigliezza"? grazie
Cosa cambia per LEBASQUE: a me la definizione sembra uguale.
Se considero X0=[0,1] intersezione Q la sua misura è 0
X1=[0,1] - Q la sua misura è 1 Come mai?
X0+X1=[0,1]
Potete farmi capire meglio questa "sottigliezza"? grazie
Risposte
Con Lebesgue puoi prendere una quantita INFINITA NUMERABILE di intervalli di misura arbitrariamente piccola.
una piccola spiegazione in pù?
Allora X0=[0,1] intersezione Q ha sua misura 0 poichè è incluso in In che per Jordan ha misura 1, giusto?
ma allora perchè X1=[0,1] - Q ha misura 1?
ma allora perchè X1=[0,1] - Q ha misura 1?
No l'unione degli I_n non e' misurabile secondo Peano-Jordan!
La misura dell'unione di due insiemi disgiunti e' la somma delle misure.
Siccome |[0,1]| = 1
E siccome Q intersezione [0,1] ha misura 0.
Allora [0,1] - Q ha misura 1.
La misura dell'unione di due insiemi disgiunti e' la somma delle misure.
Siccome |[0,1]| = 1
E siccome Q intersezione [0,1] ha misura 0.
Allora [0,1] - Q ha misura 1.
il siccome della penultima frase voglio capire. Perchè Q intersezione [0,1] ha misura 0?
ciao
ciao
Perche' e' racchiuso in un insieme di misura arbitrariamente piccola costiutito di una quantita numerabile di intervalli. E' la definizione stessa di insieme a misura nulla! 
@ Bandit scusa se rompo ma metti nel titolo del post il nome giusto : Lebesgue.
Camillo
Camillo
quindi la differenza tra Jordan e Lebec (per la felicità di camillo) è che: per Jordan si considerano un numero finito di intervalli, mentre per Lepec un numero infinito.Quindi
JORDAN:Se considero X0 appartenente a R X0 è di misura nulla se: Per ogni epsilon>0 esiste un numero FINITO d'intervalli I1,I2,I3,....,In / X0 appartiene all'unione d'intervalli Ih con h che va da 1 a n (intero dell'unione ,quindi senza estremi) e la sommatoria m (In)
LEBEC:Se considero X0 appartenente a R X0 è di misura nulla se: Per ogni epsilon>0 esiste un numero INFINITO d'intervalli I1,I2,I3,....,In / X0 appartiene all'unione d'intervalli Ih con h che va da 1 a n (intero dell'unione ,quindi senza estremi) e la sommatoria m (In)
Quindi se ciò è vero si può affermare che "jordan implica Lepec, ma non il contrario"?
Concludendo, però non ho ancora capito l'attinenza tra queste definizioni e l'intervallo "famoso" [0,1] intersezione o - Q?
JORDAN:Se considero X0 appartenente a R X0 è di misura nulla se: Per ogni epsilon>0 esiste un numero FINITO d'intervalli I1,I2,I3,....,In / X0 appartiene all'unione d'intervalli Ih con h che va da 1 a n (intero dell'unione ,quindi senza estremi) e la sommatoria m (In)
LEBEC:Se considero X0 appartenente a R X0 è di misura nulla se: Per ogni epsilon>0 esiste un numero INFINITO d'intervalli I1,I2,I3,....,In / X0 appartiene all'unione d'intervalli Ih con h che va da 1 a n (intero dell'unione ,quindi senza estremi) e la sommatoria m (In)
Quindi se ciò è vero si può affermare che "jordan implica Lepec, ma non il contrario"?
Concludendo, però non ho ancora capito l'attinenza tra queste definizioni e l'intervallo "famoso" [0,1] intersezione o - Q?
Si tutto giusto, ma ricordati che con [size=150]LEBESGUE[/size] devono essere un un numero infinito, ma numerabile di intervalli. Ovvero devono poter essere ordinati in una successione.
Per [0,1] int. Q e' attinente perche' con Lebesgue si dimostra avere misura nulla, con Peano-Jordan e' un insieme non misurabile.
Per [0,1] int. Q e' attinente perche' con Lebesgue si dimostra avere misura nulla, con Peano-Jordan e' un insieme non misurabile.
"david_e":
Per [0,1] int. Q e' attinente perche' con Lebesgue si dimostra avere misura nulla.
Non ti stufare, ma quale è la dimostrazione? è la definizione che mi hai detto prima? (cioè mi riferisco a "Perche' e' racchiuso in un insieme di misura arbitrariamente piccola costiutito di una quantita numerabile di intervalli. E' la definizione stessa di insieme a misura nulla! ")
No non mi sto' stufando!
Mi sembra, pero', che non riusciamo a capirci...
Faccio un piccolo riassunto di quanto detto fin'ora cosi' almeno magari ci capiamo.
1. Con la misura di Lebesgue si definiscono insiemi a misura nulla quelli racchiudibili in una infinita' al piu' numerabile di intervalli di misura complessiva TOTALE piccola a piacere.
2. E' possibile dimostrare che, ad esempio, l'insieme dei razionali fra 0 e 1 e' a misura nulla. La dimostrazione l'ho messa per esteso nel mio 2ndo post. Nella dimostrazione non si fa' altro che verificare la definizione.
3. L'insieme degli irrazionali fra 0 e 1 ha misura 1. Infatti la misura di (0,1) e' 1 ed e' uguale alla somma delle misure dei due sottoinsiemi disgiunti dei razionali e degli irrazionali. Siccome il primo ha misura 0 si deduce che il secondo ha misura 1.
In altre parole 1 = |(0,1)| = |A| + |B|
Dove A e' l'insieme degli irrazionali in (0,1) e B quello dei razionali sullo stesso intervallo.
Da |B| = 0 segue |A| = 1.
Ora e' piu' chiaro?
Mi sembra, pero', che non riusciamo a capirci...
Faccio un piccolo riassunto di quanto detto fin'ora cosi' almeno magari ci capiamo.
1. Con la misura di Lebesgue si definiscono insiemi a misura nulla quelli racchiudibili in una infinita' al piu' numerabile di intervalli di misura complessiva TOTALE piccola a piacere.
2. E' possibile dimostrare che, ad esempio, l'insieme dei razionali fra 0 e 1 e' a misura nulla. La dimostrazione l'ho messa per esteso nel mio 2ndo post. Nella dimostrazione non si fa' altro che verificare la definizione.
3. L'insieme degli irrazionali fra 0 e 1 ha misura 1. Infatti la misura di (0,1) e' 1 ed e' uguale alla somma delle misure dei due sottoinsiemi disgiunti dei razionali e degli irrazionali. Siccome il primo ha misura 0 si deduce che il secondo ha misura 1.
In altre parole 1 = |(0,1)| = |A| + |B|
Dove A e' l'insieme degli irrazionali in (0,1) e B quello dei razionali sullo stesso intervallo.
Da |B| = 0 segue |A| = 1.
Ora e' piu' chiaro?
si ok allora bastava dire si, perchè così avevo capito, cmq hai fatto benissimo: così ho un processo mentale ancora + preciso, grazie
Una cosa che è collegata all'argomento
Se $X_0$ per Jordan ha misura nulla allora $int_{X_0}f(x)dx=0$
se$X_=$ per Lepec ha misura nulla lo stesso integrale vale 0?
Se $X_0$ per Jordan ha misura nulla allora $int_{X_0}f(x)dx=0$
se$X_=$ per Lepec ha misura nulla lo stesso integrale vale 0?
Si. Un integrale su un insieme a misura nulla vale $0$ indipendentemente dalla $f$. Questo sia con la misura di Lebesgue che con quella di Peano-Jordan.
quindi se una funzione è integrabile secondo Rieman, deve essere continua quasi ovunque per lepec,giusto?
Si. Per essere integrabile secondo Rieman deve essere continua tranne che in unsieme di misura nulla (secondo Peano-Jordan!), quindi e' continua quasi ovunque visto che un insieme a misura nulla per Peano-Jordan e' a misura nulla anche per Lebesgue.
"david_e":
visto che un insieme a misura nulla per Peano-Jordan e' a misura nulla anche per Lebesgue.
proprio perchè jordan implica lepec?
Con un abuso di definizione, direi di sì... se una funzione è integrabile secondo Riemann lo è anche secondo Lebesgue, dunque la teoria dell'integrazione secondo Lebesgue è applicabile a una classe di funzioni più ampia rispetto a quella dell'integrale di Riemann.
E' vero, anche se esistono funzioni, RARISSIME integrabili secondo Rieman, ma non secondo Lebesgue.
Ad esempio gli integrali di Fresnel:
$\int_0^\infty cos(x^2)$
Ad esempio gli integrali di Fresnel:
$\int_0^\infty cos(x^2)$
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