La delta di Dirac e la trasformata di Fourier
Salve, è da tanto tanto che non scrivo qua. 
Anzitutto, sappiamo dalle tavole delle trasformate di Fourier che $ \delta(f) = \int_{-oo}^{+oo} e^{-j2\pixf} dx $; mi son detto: "Proviamo a svolgerlo e vediamo cosa esce fuori", quello che ne uscito non è altro che puro e sano fallimento.
Andiamo per gradi, anzitutto un valore "strano" di $f$ che può "darci problemi" è $0$ dunque $\int_{-oo}^{+oo} e^{-j2\pix(f=0)} dx = \int_{-oo}^{+oo}dx = +oo$ e ciò corrisponde con la definizione euristica della delta di Dirac, ma ora arrivano i problemi...
Ora $f \ne 0$ e dunque $\int_{-oo}^{+oo} e^{-j2\pixf} dx = -\frac{1}{2j\pif} lim_{I \to +oo} [e^{-j2\pifI} - e^{j2\pifI} ] = \frac{1}{\pif} lim_{I \to +oo} \frac{e^{j2\pifI} - e^{-j2\pifI}}{2j} = \frac{1}{\pif} lim_{I \to +oo} sin(2\pifI)$.
Dando una prima occhiata uno direbbe: "Oh, c'è $sin(2\pifI)$; $I$ tende a più infinito ma tanto che importa, c'è il $2\pi$ che fa andare il seno a 0 e non c'è bisogno di farsi problemi su queste cose", niente di più errato; non abbiamo fatto nessuna assunzione rispetto alle variabili f ed I che potrebbero essere benissimo valori non interi (O comunque non è detto che $f$ sia un valore del tipo $f = \frac{a}{I}, a \in NN$ o il contrario) e che quindi non farebbero "andare a zero" il seno e dunque ciò non corrisponde alla definizione euristica della delta di Dirac, ovvero $\delta(x) = 0, \AAx \in RR - {0}$.
Dove sbaglio?
Anzitutto, sappiamo dalle tavole delle trasformate di Fourier che $ \delta(f) = \int_{-oo}^{+oo} e^{-j2\pixf} dx $; mi son detto: "Proviamo a svolgerlo e vediamo cosa esce fuori", quello che ne uscito non è altro che puro e sano fallimento.
Andiamo per gradi, anzitutto un valore "strano" di $f$ che può "darci problemi" è $0$ dunque $\int_{-oo}^{+oo} e^{-j2\pix(f=0)} dx = \int_{-oo}^{+oo}dx = +oo$ e ciò corrisponde con la definizione euristica della delta di Dirac, ma ora arrivano i problemi...
Ora $f \ne 0$ e dunque $\int_{-oo}^{+oo} e^{-j2\pixf} dx = -\frac{1}{2j\pif} lim_{I \to +oo} [e^{-j2\pifI} - e^{j2\pifI} ] = \frac{1}{\pif} lim_{I \to +oo} \frac{e^{j2\pifI} - e^{-j2\pifI}}{2j} = \frac{1}{\pif} lim_{I \to +oo} sin(2\pifI)$.
Dando una prima occhiata uno direbbe: "Oh, c'è $sin(2\pifI)$; $I$ tende a più infinito ma tanto che importa, c'è il $2\pi$ che fa andare il seno a 0 e non c'è bisogno di farsi problemi su queste cose", niente di più errato; non abbiamo fatto nessuna assunzione rispetto alle variabili f ed I che potrebbero essere benissimo valori non interi (O comunque non è detto che $f$ sia un valore del tipo $f = \frac{a}{I}, a \in NN$ o il contrario) e che quindi non farebbero "andare a zero" il seno e dunque ciò non corrisponde alla definizione euristica della delta di Dirac, ovvero $\delta(x) = 0, \AAx \in RR - {0}$.
Dove sbaglio?
Risposte
Tralasciando l'informalismo di tutto quanto.... e rimanendo su questo tono..... A parte che da quello che scrivi, probabilmente ti stai riferendo alla trasformata di Fourier... cmq 
[tex]$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-j2\pi f x} dx = \lim_{c \rightarrow +\infty} \int_{-c/2}^{c/2} e^{-j2\pi f x}dx = \lim_{c\rightarrow +\infty} \frac{e^{j\pi f c} - e^{-j\pi f c}}{j2\pi f} = \lim_{c\rightarrow +\infty} \frac{sin(\pi f c)}{\pi f}$[/tex]
Ora questa quantità converge nel senso delle distribuzioni alla delta di dirac.
Intuitivamente.... [tex]$sinc(x) = \frac{sin(\pi x)}{\pi x}$[/tex] è la funzione seno cardinale, che in un intorno di zero vale circa [tex]$1$[/tex] e tende a zero per [tex]$x\rightarrow \infty$[/tex]. Ora il limite di prima può essere scritto come [tex]$\lim_{c\rightarrow +\infty} c\cdot sinc(c x)$[/tex] e intuitivamente si ha una compressione dell'asse delle ascisse attorno a zero, inoltre si ha una espansione dell'asse delle ordinate per un fattore molto grande che tende all'infinito, quindi in un intorno di zero tende a infinito mentre all'esterno tutto tende a zero.
Tutto questo molto informalmente.
[tex]$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-j2\pi f x} dx = \lim_{c \rightarrow +\infty} \int_{-c/2}^{c/2} e^{-j2\pi f x}dx = \lim_{c\rightarrow +\infty} \frac{e^{j\pi f c} - e^{-j\pi f c}}{j2\pi f} = \lim_{c\rightarrow +\infty} \frac{sin(\pi f c)}{\pi f}$[/tex]
Ora questa quantità converge nel senso delle distribuzioni alla delta di dirac.
Intuitivamente.... [tex]$sinc(x) = \frac{sin(\pi x)}{\pi x}$[/tex] è la funzione seno cardinale, che in un intorno di zero vale circa [tex]$1$[/tex] e tende a zero per [tex]$x\rightarrow \infty$[/tex]. Ora il limite di prima può essere scritto come [tex]$\lim_{c\rightarrow +\infty} c\cdot sinc(c x)$[/tex] e intuitivamente si ha una compressione dell'asse delle ascisse attorno a zero, inoltre si ha una espansione dell'asse delle ordinate per un fattore molto grande che tende all'infinito, quindi in un intorno di zero tende a infinito mentre all'esterno tutto tende a zero.
Tutto questo molto informalmente.
"Ska":
Tutto questo molto informalmente.
Perché formalmente cosa sarebbe uscito fuori?
"Ska":
A parte che da quello che scrivi, probabilmente ti stai riferendo alla trasformata di Fourier...
Il solito errore di distrazione, perdonami...
Formalmente c'è dietro tutta la teoria delle distribuzioni e della trasformata di Fourier definite per le distribuzioni temperate.
La trasformata di Fourier classica è definita per funzioni sommabili, la delta di Dirac non è una funzione ma è una distribuzione (anche temperata, a supporto compatto). In generale per una distribuzione (definita come funzionale lineare continuo definito sullo spazio di funzioni test $C^\infty$ a supporto compatto) non è possibile estendere la trasformata di Fourier, studiando le distribuzioni temperate (un ambiente più piccolo delle distribuzioni poichè definito su uno spazio di funzioni test più ampio detto spazio di Schwartz) è possibile avere l'estensione della trasformata di Fourier.
Quanto detto prima diciamo è vero, ma tutto espresso senza formalismo. Non è una cosa veloce e semplice.
La trasformata di Fourier classica è definita per funzioni sommabili, la delta di Dirac non è una funzione ma è una distribuzione (anche temperata, a supporto compatto). In generale per una distribuzione (definita come funzionale lineare continuo definito sullo spazio di funzioni test $C^\infty$ a supporto compatto) non è possibile estendere la trasformata di Fourier, studiando le distribuzioni temperate (un ambiente più piccolo delle distribuzioni poichè definito su uno spazio di funzioni test più ampio detto spazio di Schwartz) è possibile avere l'estensione della trasformata di Fourier.
Quanto detto prima diciamo è vero, ma tutto espresso senza formalismo. Non è una cosa veloce e semplice.
Ok, CREDO di aver colto il senso di tutto ciò, grazie tante per l'aiuto. 
Grandi ragazzi, guardando la videolezione https://www.youtube.com/watch?v=KAbqISZ6SHQ mi ero messo in testa di svolgere l'integrale
[tex]\int_{-\infty}^{\infty}\delta\left(t\right)e^{-j\omega t}dt[/tex]
fortunatamente cercando su internet ho trovato questo topic dove si dice che ci vuole tanta teoria per svolgerlo, almeno mi son risparmiato di svolgere bestialità tipo
[tex]\left[e^{-j\omega t}\right]_{0}^{0}=\left[e^{0}-e^{0}\right]=0[/tex]
dove ovviamente lo zero agli estremi di integrazione esce fuori dal fatto che la delta di Dirac è definita solo in zero, quindi come dice il prof nelle videolezioni, la funzione va valutata solo in quel punto.
[tex]\int_{-\infty}^{\infty}\delta\left(t\right)e^{-j\omega t}dt[/tex]
fortunatamente cercando su internet ho trovato questo topic dove si dice che ci vuole tanta teoria per svolgerlo, almeno mi son risparmiato di svolgere bestialità tipo
[tex]\left[e^{-j\omega t}\right]_{0}^{0}=\left[e^{0}-e^{0}\right]=0[/tex]
dove ovviamente lo zero agli estremi di integrazione esce fuori dal fatto che la delta di Dirac è definita solo in zero, quindi come dice il prof nelle videolezioni, la funzione va valutata solo in quel punto.
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