La definizione di limite in $RR^n$

[loooka]

Ciao a tutti, nello studiare la definizione di limite per funzioni a più variabili, mi è venuto un dubbio: sui miei appunti la definizione è la seguente

Sia $f: D sube RR^n\to RR , x_0 in RR^n e L in RR$ allora si dice che $f(x) to L (x to x_0) $ se $AA \epsilon > 0 EE \delta > 0 : ||f(x) - L|| < \epsilon AA x in D\\{x_0} con ||x-x_0|| <\delta$

Il mio dubbio riguarda $||f(x)-L||$ ciò che mi sto chiedendo è perchè ci va la norma se la f(x) va di $RR^n to RR$ e $L in RR$? Non dovrebbe esserci il modulo dato che sto misurando una distanza in $RR$?

[ViciousGoblin]

"loka":Ciao a tutti, nello studiare la definizione di limite per funzioni a più variabili, mi è venuto un dubbio: sui miei appunti la definizione è la seguente

Sia $f: D sube RR^n\to RR , x_0 in RR^n e L in RR$ allora si dice che $f(x) to L (x to x_0) $ se $AA \epsilon > 0 EE \delta > 0 : ||f(x) - L|| < \epsilon AA x in D\\{x_0} con ||x-x_0|| <\delta$

Il mio dubbio riguarda $||f(x)-L||$ ciò che mi sto chiedendo è perchè ci va la norma se la f(x) va di $RR^n to RR$ e $L in RR$? Non dovrebbe esserci il modulo dato che sto misurando una distanza in $RR$?

Hai ragione. Peraltro la definizione si estende subito al caso di $f$ a valori in $RR^m$(e $L\in RR^m$), mettendo appunto la norma al posto del modulo (non necessariamente $n=m$)

[loooka]

grazie vicious....quindi metto il modulo...una cosa... quindi tu con $RR^m$ intendi un qualsiasi spazio diverso da $RR^n$ ( $m>n$ $m
Da come ho capito praticamente la mia definizione era giusta se al posto di $RR$ mettevo $RR^m$.Vero?

[ViciousGoblin]

"loka":grazie vicious....quindi metto il modulo...una cosa... quindi tu con $RR^m$ intendi un qualsiasi spazio diverso da $RR^n$ ( $m>n$ $m
Da come ho capito praticamente la mia definizione era giusta se al posto di $RR$ mettevo $RR^m$.Vero?

Esatto.

Per la verita' la definizione si poteva considerare giusta anche prima, visto che per $m=1$ la norma e' il modulo .
Pero 'se negli appunti avevi la norma, probabilmente si voleva considerare il caso piu' generale.

[amel3]

"loka":grazie vicious....quindi metto il modulo...una cosa... quindi tu con $RR^m$ intendi un qualsiasi spazio diverso da $RR^n$ ( $m>n$ $m
Da come ho capito praticamente la mia definizione era giusta se al posto di $RR$ mettevo $RR^m$.Vero?

Sì però può anche essere $m=n$...
Vabbè avevo voglia di fare un'osservazione cretina.

[regim]

La norma coincide col modulo in uno spazio euclideo uno-dimensionale.

[Fioravante Patrone1]

La precisazione di amel non è per niente cretina. Corregge un errore "importante" commesso da regim.

Lo stesso errore poterebbe a concludere che, ad esempio, l'equazione $x=y$ non può mai avere soluzioni, e cose simili. Le conseguenze per la geometia analitica potrebbero essere fastidiose, visto che toglierebbe di mezzo la bisettrice del I e III quadrante.

Se uso due diverse variabili che possono assumere valore in un dato insieme (nel caso specifico si tratta di $m$ ed $n$, che assumono valori in $NN$), non sto vietando minimamente che possano assumere lo stesso valore.

[regim]

"Fioravante Patrone":La precisazione di amel non è per niente cretina. Corregge un errore "importante" commesso da regim.

Lo stesso errore poterebbe a concludere che, ad esempio, l'equazione $x=y$ non può mai avere soluzioni, e cose simili. Le conseguenze per la geometia analitica potrebbero essere fastidiose, visto che toglierebbe di mezzo la bisettrice del I e III quadrante.

Se uso due diverse variabili che possono assumere valore in un dato insieme (nel caso specifico si tratta di $m$ ed $n$, che assumono valori in $NN$), non sto vietando minimamente che possano assumere lo stesso valore.

Boh non ho capito!
Io parlavo della definizione di limite generale per una funzione definita in uno spazio metrico a valori in un altro in cui la distanza é la norma(usualmente) della differenza tra due punti, supponendo gli spazi metrici euclidei, non riesco a capire cosa cambia se $m=n$ o no.
Se il codominio é l'insieme dei reali, la norma e il modulo hanno proprio la stessa espressione matematica, cioé la radice del quadrato del numero reale.

[gugo82]

Secondo me FP ha sbagliato a scrivere... Ha preso regim per loka, invece che fischi per fiaschi.
Capita.

[regim]

"Gugo82":Secondo me FP ha sbagliato a scrivere... Ha preso regim per loka, invece che fischi per fiaschi.
Capita.

Non l'avevo notato, e' proprio come dici tu, a prescindere che in questo campo sbagliare é molto piú umano che altrove

[Fioravante Patrone1]

Sì, mi riferivo a loka, ho sbagliato utente.