La definizione della funzione esponenziale
Il mio professore matto di Analisi ha deciso di costruire la funzione esponenziale ,prima dimostrando l'esitenza delle radici n-esime tramite l'assioma di continuità, dopo di che si mette a dimostrare le proprietà dell'esponenziale prima quando gli esponenti sono naturali,poi razionali ,poi reali . Io sono perplesso sulla dimostrazione che riguarda la somma di esponenti razionali: ho provato per induzione sul numeratore considerando prima in caso in cui era positivo o nullo e poi estendermi al caso in cui è negativo (il denominatore è positivo poiche a^(1/n) è la radice n-esima di a).Se siete interessati al problema qui ci sono le dispense che sto seguendo : http://www.dm.unipi.it/~acquistp/analisi1.pdf. La questione che mi assilla è a pagina 56.
Risposte
Scusate la consecuzio temporum ma sono veramente adirato !
Non mi pare ci sia bisogno di fare induzione.
Beh, posto \(r=p/q,\ s=m/n\) con \(p,m\geq 0\), si ha:
\[
\begin{split}
(a^r\ a^s)^{qn} &= (a^{p/q})^{qn}\ (a^{m/n})^{qn} &\text{(perchè } a^r,\ a^s \text{ sono reali e } qn \text{ è intero)}\\
&= ((a^p)^{1/q})^{qn}\ ((a^m)^{1/n})^{qn} &\text{(definizione della potenza razionale)}\\
&= (((a^p)^{1/q})^q)^n\ (((a^m)^{1/n})^n)^q &\text{(potenza di potenza nel caso intero)}\\
&= (a^p)^n\ (a^m)^q &\text{(definizione della radice)}\\
&= a^{pn}\ a^{mq} &\text{(potenza di potenza nel caso intero)}\\
&= a^{pn+mq} &\text{(prodotto di potenze con esponente intero)}
\end{split}
\]
da cui, per l'unicità della radice \(nq\)-esima, segue:
\[
a^r\ a^s = a^{\frac{pn+mq}{qn}} = a^{r+s}\; .
\]
Con uno tra \(p\) o \(m\) minore di zero si ragiona allo stesso modo.
Beh, posto \(r=p/q,\ s=m/n\) con \(p,m\geq 0\), si ha:
\[
\begin{split}
(a^r\ a^s)^{qn} &= (a^{p/q})^{qn}\ (a^{m/n})^{qn} &\text{(perchè } a^r,\ a^s \text{ sono reali e } qn \text{ è intero)}\\
&= ((a^p)^{1/q})^{qn}\ ((a^m)^{1/n})^{qn} &\text{(definizione della potenza razionale)}\\
&= (((a^p)^{1/q})^q)^n\ (((a^m)^{1/n})^n)^q &\text{(potenza di potenza nel caso intero)}\\
&= (a^p)^n\ (a^m)^q &\text{(definizione della radice)}\\
&= a^{pn}\ a^{mq} &\text{(potenza di potenza nel caso intero)}\\
&= a^{pn+mq} &\text{(prodotto di potenze con esponente intero)}
\end{split}
\]
da cui, per l'unicità della radice \(nq\)-esima, segue:
\[
a^r\ a^s = a^{\frac{pn+mq}{qn}} = a^{r+s}\; .
\]
Con uno tra \(p\) o \(m\) minore di zero si ragiona allo stesso modo.
"Lapitagrange":
ho provato per induzione sul numeratore considerando prima in caso in cui era positivo o nullo e poi estendermi al caso in cui è negativo (il denominatore è positivo poiche a^(1/n) è la radice n-esima di a).
Il principio d'induzione puoi usarlo solo sui naturali. Sui razionali non funziona.
Ragazzi vi ringrazio tutti per le risposte !
La dimostrazione di gugo82 mi sembra di averla capita il caso in cui p<0 e m>0 presenta questa parte in più dopo di che è analoga al caso precedente in cui p>=0 e m>=0 :\( a^\frac{p}{q} *a^\frac{m}{n} =\frac{1}{(a^\frac{1}{q})^-p}*a^\frac{m}{n}= \frac{1}{a^\frac{-p}{q}}*a^\frac{m}{n}= \frac{a^\frac{m}{n}}{a^\frac{-p}{q}} \). Elevando alla qn torna tutto, se si è dimostrato che per il prodotto fra interi vale a^r*a^s=a^(r+s) ,io l'ho dimostrato sui naturali per induzione , ma per gli interi continuo a non capire come si faccia .Se ci fosse qualche anima pia che me lo potesse spiegare gliene sarei grato.
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