La convergenza uniforme implica la limitatezza?

[Gaal Dornick]

sottigliezze:

data ${f_n}_(n in NN)$ $f_n:A->RR$
e $f:A->RR$

diciamo che ${f_n}$ converge uniformemente a $f$ se $ forall epsilon>0 exists ni>0 s.t. forall n >= ni : forall x in A : |f_n(x)-f(x)|
ma se ${f_n}$ converge uniformemente a $f$, $f_n$ è limitata?

analogo problema con le serie: se $sum f_n$ converge uniformemente $f_n$ è limitata?

[Sk_Anonymous]

Altra 'sottigliezza'...

... $f$ è limitata in $A$?...

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

[Gaal Dornick]

si esatto: la domanda è quella.. un'altra faccia della stessa domanda è " $f$ è limitata?"

[Gaal Dornick]

penso di no ma ho bisogno di pareri autorevoli!

infatti: sia ${f_n}$ $f_n=f:RR->RR$ $f(x)=x$
sicuramente $f_n$ e $f$ non sono limitate su $RR$
$f_n->f$ uniformemente su RR infatti:
preso $epsilon>0$ fisso $N in NN$ arbitrario
e $forall n in NN , n>N: forall x in RR : |f_n(x)-f(x)|=|x-x|=|0|
e quindi ho risposto alla mia domanda.. ma allora con qualche ipotesi aggiuntiva vale la mia domanda?