La convergenza nel senso delle distribuzioni
Ciao a tutti! Dovrei rispondere a questo quesito, ma per la parte teorica non sono proprio sicuro sull'esattezza... mentre per l'esercizio non saprei come devo vederlo per capire... 
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Risposte
[tex]$T_n \rightarrow T$[/tex] nel senso delle distribuzioni equivale a chiedere che [tex]$\forall v \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$[/tex], [tex]$\lim_{n\rightarrow +\infty} \langle T_n, v\rangle = \langle T, v\rangle$[/tex].
Per quanto riguarda l'esercizio, basta calcolare [tex]$\forall v \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$[/tex] [tex]$\lim_{n\rightarrow +\infty} \langle T_n, v\rangle = \lim_{n\rightarrow +\infty} \langle \delta_{(-2)^{3n} log(2n)}, v\rangle = \lim_{n\rightarrow +\infty} v((-2)^{3n} log(2n))$[/tex]
Essendo [tex]$v$[/tex] a supporto compatto, allora esiste un [tex]$r$[/tex] tale che al di fuori di [tex]$[-r,r]$[/tex] [tex]$v(x) = 0$[/tex]. Inoltre [tex]$(-2)^{3n} log(2n) \rightarrow \infty$[/tex] e quindi [tex]$\forall v \in \mathcal{D}(\mathbb{R})\, \exists n_0\in \mathbb{N}: \forall n > n_0\,\, v((-2)^{3n} log(2n)) = 0$[/tex] e quindi si ha [tex]$\lim_{n\rightarrow +\infty} \langle T_n, v\rangle = 0 = \langle 0, v\rangle$[/tex] da cui si può dedurre che [tex]$T_n \rightarrow 0$[/tex] nel senso delle distribuzioni.
Per quanto riguarda l'esercizio, basta calcolare [tex]$\forall v \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$[/tex] [tex]$\lim_{n\rightarrow +\infty} \langle T_n, v\rangle = \lim_{n\rightarrow +\infty} \langle \delta_{(-2)^{3n} log(2n)}, v\rangle = \lim_{n\rightarrow +\infty} v((-2)^{3n} log(2n))$[/tex]
Essendo [tex]$v$[/tex] a supporto compatto, allora esiste un [tex]$r$[/tex] tale che al di fuori di [tex]$[-r,r]$[/tex] [tex]$v(x) = 0$[/tex]. Inoltre [tex]$(-2)^{3n} log(2n) \rightarrow \infty$[/tex] e quindi [tex]$\forall v \in \mathcal{D}(\mathbb{R})\, \exists n_0\in \mathbb{N}: \forall n > n_0\,\, v((-2)^{3n} log(2n)) = 0$[/tex] e quindi si ha [tex]$\lim_{n\rightarrow +\infty} \langle T_n, v\rangle = 0 = \langle 0, v\rangle$[/tex] da cui si può dedurre che [tex]$T_n \rightarrow 0$[/tex] nel senso delle distribuzioni.
[mod="dissonance"]@TheXeno: Ti ricordo questo stralcio di regolamento:
[/mod]
Pure tu Ska, per favore, cerca di evitare di servire la pappa pronta così. Grazie.
1.2 Matematicamente.it forum non è un servizio di consulenza per lo svolgimento di esercizi e problemi.
[...]
1.4 Non è da intendersi scambio culturale la semplice richiesta di risoluzione di un esercizio. Chi pone la domanda deve dimostrare lo sforzo che ha fatto per cercare di risolvere la difficoltà, indicare la strada che ha cercato di intraprendere e in ogni caso indicare aspetti specifici da chiarire.
[/mod]
Pure tu Ska, per favore, cerca di evitare di servire la pappa pronta così. Grazie.
@Ska: grazie! tornano le cose!
@dissonance: Chiedo scusa
L'esercizio non sapevo davvero come iniziarlo correttamente, e per la teoria avrei forse dovuto mettere per esteso quello che non mi convinceva. Ed era esattamente quello che ha scritto ska, cioè che una somma di distribuzioni deve convergere alla distrbuzione e inoltre con essa devono rimanere valide le prorietà di linearità... ma mi sembrava troppo corta per una definizione del genere, quindi ho poi chiesto qua.
@dissonance: Chiedo scusa
L'esercizio non sapevo davvero come iniziarlo correttamente, e per la teoria avrei forse dovuto mettere per esteso quello che non mi convinceva. Ed era esattamente quello che ha scritto ska, cioè che una somma di distribuzioni deve convergere alla distrbuzione e inoltre con essa devono rimanere valide le prorietà di linearità... ma mi sembrava troppo corta per una definizione del genere, quindi ho poi chiesto qua.
Chiedo scusa, mi son fatto prendere dall'esercizio 
Comunque sul concetto di distribuzione segnalo questo vecchio post di VicousGoblin, molto bello:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#313193
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#313193
"dissonance":
Comunque sul concetto di distribuzione segnalo questo vecchio post di VicousGoblin, molto bello:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#313193
L'avevo letto!!
Con quell'esempio del termometro si rende molto piu comprensibile anche a me
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