La controimmagine di una funzione discontinua é aperta?

[rettile56]

Ciao a tutti, ho qui a che fare con un teorema tra le cui ipotesi c'è la continuità di una funzione (da un aperto in R). Utilizza questa ipotesi per dire ad un certo punto che la sua controimmagine é aperta.
Ora se f é continua manda aperti in aperti e fin qui ci sono, ma non mi viene n mente un caso in cui questo non valga anche per funzioni non continue.
Riuscite a darmi un controesempio?
Grazie!

[Frink1]

"pollo93":
Ora se f é continua manda aperti in aperti

Non è vero. Pensa a una qualsiasi funzione costante definita su un aperto. Quella è la definizione di funzione aperta.

In topologia si definisce una funzione continua come una funzione $f:X \rightarrow Y$ tale per cui, preso $A \subset Y$ aperto, $f^{-1}(A)$ è aperto in $X$. Si può poi dimostrare piuttosto semplicemente che questa definizione di continuità è equivalente a quella "puntuale" data in Analisi. Questo dovrebbe rispondere alla tua domanda.

[rettile56]

Potrebbe andare come controesempio un f del tipo f(x)={1 se x=2; 2 se x=3; 0 altrove } La controimmagine di (2,3) é una coppia di punti e quindi non é aperta.

Ps: Come definizione si potrebbe allora dire che f é continua se la sua inversa manda aperti in aperti?
Pps: Chiedo scusa per la scrittura poco chiara ma sono dal cell.

Edit: No, non va bene perché la continuità da sola non implica l'esistenza dell'inversa

[Frink1]

Non ho capito, cerchi un controesempio per cosa? Cerchi una funzione continua che manda aperti in non aperti? Una funzione costante va benissimo a questo scopo.

Come hai scritto nell'EDIT, non va bene. L'inversa non sempre esiste, qui parliamo solo di controimmagine. Bisogna solo farci il callo, ma è altrettanto se non più comoda come definizione.

[vict85]

Beh, la funzione identità di \(\displaystyle \mathbb{R} \) è una funzione continua tra la topologia standard e la topologia banale, eppure l'immagine degli aperti di \(\displaystyle \mathbb{R} \) non è né aperta né chiusa. Similmente nel caso si usi la topologia di Zariski al posto di quella banale (essendo meno fine della topologia standard) o un'altra topologia meno fine di quella standard.

[rettile56]

No, cerco una funzione discontinua tc preso A aperto $f^-1(A)$ sia non aperto.
O meglio cerco di capire perchè per ottenere un $f^-1(A)$ aperto partendo da un A aperto sia necessaria per forza una funzione continua.

[Plepp]

Non è che è necessario che $f$ sia continua affinché $f^{-1}("un aperto")$ sia aperto (che ne so, prendi una funzione discontinua, definita su tutto $RR$, e prendi un aperto $A$ contenente l'immagine di $f$: $f^{-1}(A)$ è tutto $RR$, quindi è aperto, anche se $f$ non è continua).

Però se $f$ è continua stai sicuro che è così.

[rettile56]

Ok, dunque ricapitolando (tornando al primo post) il teorema richiede che la funzione sia continua per essere sicuri che il suo $f^-1(Aperto)$ sia continuo, ma la discontinuità da parte sua non avrebbe implicato il contrario.
E che dire del mio esempio? È giusto?
$ f(x)={ 1 -> x =2 , 2 ->x=3 , 0 ->else
:} $
Si tratta di una funzione la cui controimmagine di un aperto ad esempio (2,3) manda in {{1},{2}} chiuso e quindi questo è il motivo per cui per funzioni discontinue non è sempre vero quanto detto sopra.
Giusto?

[Frink1]

Il tuo esempio va bene ma hai sbagliato: $f^{-1}( ( (2, 3) ) )={0}$ perché hai preso l'intervallo senza estremi. Comunque sì, si richiede che la funzione sia continua per garantire che sia aperta la controimmagine di un aperto. Se la funzione non fosse continua potresti comunque avere controimmagini di aperti aperte, ma non sarebbe garantito, quindi non ci potresti basare una dimostrazione sopra.

[rettile56]

Molte grazie a tutti come sempre!!