La conclusione di una serie

[Bandit1]

Abbiamo una serie con n che va da o ad infinito: e^[(2n)-n^2]
arrivo a e^(1-2n).Ora il limite come si fa?

[Pachito1]

e^[(2n)-n^2] = e * e^[-1+2n-n^2] = e * e^-[n-1]^2
questa serie converge, ma non credo che esista un modo per farne la somma. (A parte il calcolatore)

[Bandit1]

perchè converge?

[Pachito1]

L'esponenziale negativa converge (e molto rapidamente). Lo puoi verificare applicando un qualunque criterio di convergenza.

[Bandit1]

si,ma molti dicono che non bisogna vedere chi tende a qualcosa + o - rapidamente.

[Woody1]

Quella serie converge perchè, per esempio, applicando il criterio della radice, si vede che il limite della successione che si ottiene è zero.

[Sk_Anonymous]

quote:

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Originally posted by Bandit

Abbiamo una serie con n che va da o ad infinito: e^[(2n)-n^2]
arrivo a e^(1-2n). Ora il limite come si fa?

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Qualunque sia n > 2: n^2 - 2n >= n, cosicché: e^{2n - n^2} < e^{-n}. E allora, siccome e^{2n - n^2} > 0, per ogni n \in N, la serie dei resti sum[n=3...+inf] e^{2n - n^2} è convergente, poiché maggiorata da una serie a sua volta convergente (i.e., la serie geometrica sum[n=0...+inf] e^{-n}, sommabile ad e/(e-1)). Dunque è pure convergente la serie sum[n=0...+inf] e^{2n - n^2}, la cui somma (tuttavia) dubito fortemente si possa esprimere "in forma chiusa" per via di "costanti note" e funzioni elementari dell'Analisi.

Saluti,
Salvatore Tringali

[Sk_Anonymous]

quote:

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Originally posted by HiTLeuLeR
[...] la cui somma (tuttavia) dubito fortemente si possa esprimere "in forma chiusa" per via di "costanti note" e funzioni elementari dell'Analisi.

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...e l'impressione è confermata dal fatto che la somma della serie di cui si discute si può rendere in termini di una (forse non troppo) celebre trascendente non elementare dell'Analisi! Basti infatti osservare che, con una sostituzione dell'indice di sommatoria, può porsi sum[n=0...+inf] e^{-n^2 + 2n} = 1 + e * sum[k=0...+inf] e^{-k^2}, e quindi considerare che la serie ad ultimo membro è esprimibile attraverso la funzione ellittica theta_3(x,y) := 1 + 2*sum[k=1...+inf] y^{k^2} * cos(2kx), definita nel dominio "massimale" del piano R^2 in cui la somma a secondo membro risulta convergente.