L2
Come si fa a dimostrare, usando le successioni di cauchy, che l2 è completo, di conseguenza è uno spazio di Hilbert?
Risposte
Prendi una successione [tex]$(x^m)_{m\in \mathbb{N}} \subset \ell^2$[/tex], in cui [tex]$x^m:=(x_n^m)_{n\in \mathbb{N}}$[/tex], che sia di Cauchy, ossia tale che:
[tex]$\forall \varepsilon,\ \exists \mu \in \mathbb{N}:\ \forall m,p>\mu ,\ \lVert x^m-x^p\rVert_2^2<\varepsilon^2$[/tex].
La condizione di Cauchy in [tex]$\ell^2$[/tex] ti dice che, per ogni [tex]$n$[/tex], la successione delle "coordinate [tex]$n$[/tex]-esime" [tex]$(x_n^m)_{m\in \mathbb{N}}$[/tex] è di Cauchy in [tex]$\mathbb{R}$[/tex], sicché per ogni [tex]$n$[/tex] esiste un [tex]$x_n\in \mathbb{R}$[/tex] tale che:
[tex]$x_n=\lim_m x_n^m$[/tex];
poni [tex]$x:=(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$[/tex] e prova che [tex]$\lim_m x^m =x$[/tex] in [tex]$\ell^2$[/tex], ossia che [tex]$\lVert x^m-x\rVert_2^2 \to 0$[/tex].
Per visualizzare la situazione, immagina di disporre le [tex]$x^m$[/tex] come righe di una matrice infinita:
[tex]$\begin{pmatrix}
x_1^1 & x_2^1 & x_3^1 & \ldots & x_n^1 &\ldots \\
x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 & \ldots & x_n^2 &\ldots \\
x_1^3 & x_2^3 & x_3^3 & \ldots & x_n^3 &\ldots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ldots \\
x_1^m & x_2^m & x_3^m & \ldots & x_n^m & \ldots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ldots
\end{pmatrix}$[/tex]
in questo modo le successioni che leggi sulle colonne sono quelle delle "coordinate" le quali convergono in [tex]$\mathbb{R}$[/tex]; graficamente puoi rappresentarti la situazione come segue:
[tex]$\begin{pmatrix}
x_1^1 & x_2^1 & x_3^1 & \ldots & x_n^1 &\ldots \\
x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 & \ldots & x_n^2 &\ldots \\
x_1^3 & x_2^3 & x_3^3 & \ldots & x_n^3 &\ldots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ldots \\
x_1^m & x_2^m & x_3^m & \ldots & x_n^m &\ldots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ldots \\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & & \downarrow & \\
x_1 & x_2 & x_3 &\ldots & x_n & \ldots
\end{pmatrix}$[/tex]
e la successione [tex]$x$[/tex] che leggi nell'ultima riga è proprio il limite in [tex]$\ell^2$[/tex] della successione [tex]$(x^m)_{m\in\mathbb{N}}$[/tex].
[tex]$\forall \varepsilon,\ \exists \mu \in \mathbb{N}:\ \forall m,p>\mu ,\ \lVert x^m-x^p\rVert_2^2<\varepsilon^2$[/tex].
La condizione di Cauchy in [tex]$\ell^2$[/tex] ti dice che, per ogni [tex]$n$[/tex], la successione delle "coordinate [tex]$n$[/tex]-esime" [tex]$(x_n^m)_{m\in \mathbb{N}}$[/tex] è di Cauchy in [tex]$\mathbb{R}$[/tex], sicché per ogni [tex]$n$[/tex] esiste un [tex]$x_n\in \mathbb{R}$[/tex] tale che:
[tex]$x_n=\lim_m x_n^m$[/tex];
poni [tex]$x:=(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$[/tex] e prova che [tex]$\lim_m x^m =x$[/tex] in [tex]$\ell^2$[/tex], ossia che [tex]$\lVert x^m-x\rVert_2^2 \to 0$[/tex].
Per visualizzare la situazione, immagina di disporre le [tex]$x^m$[/tex] come righe di una matrice infinita:
[tex]$\begin{pmatrix}
x_1^1 & x_2^1 & x_3^1 & \ldots & x_n^1 &\ldots \\
x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 & \ldots & x_n^2 &\ldots \\
x_1^3 & x_2^3 & x_3^3 & \ldots & x_n^3 &\ldots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ldots \\
x_1^m & x_2^m & x_3^m & \ldots & x_n^m & \ldots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ldots
\end{pmatrix}$[/tex]
in questo modo le successioni che leggi sulle colonne sono quelle delle "coordinate" le quali convergono in [tex]$\mathbb{R}$[/tex]; graficamente puoi rappresentarti la situazione come segue:
[tex]$\begin{pmatrix}
x_1^1 & x_2^1 & x_3^1 & \ldots & x_n^1 &\ldots \\
x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 & \ldots & x_n^2 &\ldots \\
x_1^3 & x_2^3 & x_3^3 & \ldots & x_n^3 &\ldots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ldots \\
x_1^m & x_2^m & x_3^m & \ldots & x_n^m &\ldots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ldots \\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & & \downarrow & \\
x_1 & x_2 & x_3 &\ldots & x_n & \ldots
\end{pmatrix}$[/tex]
e la successione [tex]$x$[/tex] che leggi nell'ultima riga è proprio il limite in [tex]$\ell^2$[/tex] della successione [tex]$(x^m)_{m\in\mathbb{N}}$[/tex].
Ok. Ma non capisco perchè se ||Xr||0, allora somm(|x_r_n|^2)
N.B. Sopra è stato posto Xr={x_r_n}_r, dove l'underscore serve per indicare gli indici.
N.B. Sopra è stato posto Xr={x_r_n}_r, dove l'underscore serve per indicare gli indici.
Innanzitutto, sarebbe anche ora che tu imparassi ad inserire il testo matematico con il MathML, visto che dai 30 post in poi sei obbligato da regolamento a farlo (cfr. 3.6b).
Per imparare, basta cliccare su formule e leggersi la guida.
Poi che [tex]$\lVert x^r \rVert_2^2
[tex]$\sum_{n=1}^{m} |x_n|^2 =\lim_r \sum_{n=1}^{m} |x_n^r|^2 \leq K$[/tex]
(questo perchè se hai due successioni regolari [tex]$a_r
[tex]$\lVert x\rVert_2^2 =\lim_m \sum_{n=1}^{m} |x_n|^2 \leq K$[/tex]
quindi [tex]$x\in \ell^2$[/tex].
Per imparare, basta cliccare su formule e leggersi la guida.
Poi che [tex]$\lVert x^r \rVert_2^2
[tex]$\sum_{n=1}^{m} |x_n|^2 =\lim_r \sum_{n=1}^{m} |x_n^r|^2 \leq K$[/tex]
(questo perchè se hai due successioni regolari [tex]$a_r
[tex]$\lVert x\rVert_2^2 =\lim_m \sum_{n=1}^{m} |x_n|^2 \leq K$[/tex]
quindi [tex]$x\in \ell^2$[/tex].
Ho un altro dubbio: perchè se ho $ AA epsilon >0 EE ni>0:sum_(n = 1)^(oo )|x{::}_( r){::}_( n)-x{::}_( s){::}_( n)|^(2)ni $ , allora si ha che $ AA m, sum_(n = 1)^(m )|x{::}_( r){::}_( n)-x{::}_( s){::}_( n)|^(2)leq epsilon, AA r,s>ni $ : cioè perchè se al posto di infinito metto m il < diviene largo, cioè diventa minore o uguale?
"Spook":
Ho un altro dubbio: perchè se
???
Non mi risp più?
In realtà può rimanere [tex]$<$[/tex]; però comunque lo perdi nei passaggi successivi, quindi...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo