L^1 e il duale di L^∞
Vorrei proporvi questo esercizio di Analisi funzionale.
Si tratta di un esempio di un elemento di \(\displaystyle ( L^\infty([0,1]) )^{*} \) che non può essere rappresentato nella forma \(\displaystyle \Lambda_g:L^\infty([0,1]) \rightarrow \mathbb{R}, \Lambda_g (f) = \int_{0}^{1} fg \) , con \(\displaystyle g \in L^1([0,1]) \).
Come si fa a dimostrare che il seguente operatore lineare e continuo definito sullo spazio delle funzioni continue \(\displaystyle C([0,1]) \):
\(\displaystyle \Lambda (f) = f(0) \ \ \forall f \in C([0,1]) \)
è tale che \(\displaystyle \nexists g \in L^1([0,1]) : \Lambda (f) = \int_{0}^{1} fg \) ?
NOTA: Si può considerare l'azione di \(\displaystyle \Lambda \) sul sottospazio \(\displaystyle C([0,1]) \subset L^\infty([0,1]) \) perché poi si può estendere l'esempio a tutto lo spazio, grazie al teorema di Hahn-Banach.
Si tratta di un esempio di un elemento di \(\displaystyle ( L^\infty([0,1]) )^{*} \) che non può essere rappresentato nella forma \(\displaystyle \Lambda_g:L^\infty([0,1]) \rightarrow \mathbb{R}, \Lambda_g (f) = \int_{0}^{1} fg \) , con \(\displaystyle g \in L^1([0,1]) \).
Come si fa a dimostrare che il seguente operatore lineare e continuo definito sullo spazio delle funzioni continue \(\displaystyle C([0,1]) \):
\(\displaystyle \Lambda (f) = f(0) \ \ \forall f \in C([0,1]) \)
è tale che \(\displaystyle \nexists g \in L^1([0,1]) : \Lambda (f) = \int_{0}^{1} fg \) ?
NOTA: Si può considerare l'azione di \(\displaystyle \Lambda \) sul sottospazio \(\displaystyle C([0,1]) \subset L^\infty([0,1]) \) perché poi si può estendere l'esempio a tutto lo spazio, grazie al teorema di Hahn-Banach.
Risposte
[ot]L'esercizio è al di fuori della mia portata. Mi limito a fare una domanda. Mi sbaglio o c'entra qualcosa con la Delta di Dirac?[/ot]
"gugo82":
Questa cosa è già stata analizzata nella preistoria...
Non riesco ad applicare la stessa cosa nel mio esempio specifico: in quel post si parla di distribuzioni e di funzioni test...
Vorrebbe dire che devo pensare al mio funzionale lineare e continuo \(\displaystyle \Lambda \) come ad una delta di Dirac, e poi sfruttare il fatto che quest'ultima è una distribuzione singolare? Ma non c'era un modo più semplice? Quello che mi mette in difficoltà è la dim. che ho trovato in quel post, per niente semplice...
"EdmondDantès":
[quote="gugo82"]Questa cosa è già stata analizzata nella preistoria...
Non riesco ad applicare la stessa cosa nel mio esempio specifico: in quel post si parla di distribuzioni e di funzioni test...
Vorrebbe dire che devo pensare al mio funzionale lineare e continuo \( \displaystyle \Lambda \) come ad una delta di Dirac [...][/quote]
Il tuo funzionale è la \(\delta\) di Dirac.
"EdmondDantès":
[...] e poi sfruttare il fatto che quest'ultima è una distribuzione singolare?
Nel mio post è dimostrato che la \(\delta\) è una distribuzione singolare, quindi quello che ti suggerivo era adattare la mia dimostrazione al tuo caso (che differisce da quello analizzato da me solamente perchè tu consideri il problema unidimensionale... Quindi ti basterebbe mettere \(N=1\) a tappeto nella mia dimostrazione per ottenere ciò che ti interessa).
"EdmondDantès":
Ma non c'era un modo più semplice? Quello che mi mette in difficoltà è la dim. che ho trovato in quel post, per niente semplice...
Beh, non tutte le dimostrazioni sono "semplici"... Ma a parte questo, puoi procedere per approssimazione.
Per assurdo, supponi che esista \(d\in L^1(0,1)\) tale che:
\[
\Lambda (u) := u(0) =\int_0^1 d(x)\ u(x)\ \text{d} x=:\Lambda_d (u)
\]
per ogni \(u\in L^\infty (0,1)\).
Comincia a considerare le funzioni caratteristiche degli aperti, i.e. funzioni del tipo:
\[
\chi_A(x) :=\begin{cases} 1 &\text{, se } x\in A\\
0 &\text{, altrimenti}
\end{cases}
\]
con \(A\subseteq ]0,1[\) aperto; chiaramente:
\[
\Lambda_d (\chi_A) = \Lambda (\chi_A) = \chi_A(0) =0
\]
(perché \(0\notin A\)). Detto ciò, considera le funzioni catteristiche dei chiusi, cioé:
\[
\chi_C (x) :=\begin{cases} 1 &\text{, se } x\in C\\
0 &\text{, altrimenti}
\end{cases}
\]
con \(C\subseteq ]0,1[\) chiuso; ovviamente:
\[
\Lambda_d(\chi_C) = \Lambda (\chi_C) = \Lambda (\chi_{]0,1[} - \chi_{]0,1[\setminus C}) = \Lambda (\chi_{]0,1[} ) - \Lambda (\chi_{]0,1[\setminus C}) = 0
\]
perché \(]0,1[\setminus C\) è aperto in \(]0,1[\).
Per approssimazione dall'interno (con chiusi) e dall'esterno (con aperti) e per la continuità del funzionale \(\Lambda_d=\Lambda \) sai che:
\[
\Lambda_d(\chi_E) = 0
\]
per ogni insieme misurabile \(E\subset ]0,1[\), e da ciò segue che:
\[
\Lambda_d (s) =0
\]
per ogni funzione semplice \(s\in L^\infty (0,1)\) (perché le funzioni semplici sono combinazioni lineari di caratteristiche di misurabilii).
Dal teorema di approssimazione, sai che la classe delle funzioni semplici è densa in \(C_c(]0,1[)\) rispetto alla norma \(L^\infty\), perciò ogni funzione continua a supporto compatto contenuto in \(]0,1[\) è approssimabile con funzioni semplici; pertanto, sempre per la continuità del funzionale hai:
\[
\Lambda_d (\phi) = 0
\]
per ogni \(\phi \in C_c(]0,1[)\).
Fatto ciò, non ti rimane altro da far vedere che \(C_c(]0,1[)\) è denso in \(C([0,1])\) rispetto alla norma \(L^\infty\), cioè nel senso della convergenza uniforme. Infatti, fatto ciò, per continuità avresti:
\[
\Lambda_d(f)=0
\]
per ogni \(f\in C([0,1])\)... Ma ciò sarebbe assurdo, perchè, ad esempio, per \(\tilde{f}(x) := \cos x\in C([0,1])\) si ha:
\[
\Lambda (\tilde{f}) =1 \neq 0 = \Lambda_d(\tilde{f})\; .
\]
Quindi come fai a dimostrare che:
\(C_c(]0,1[)\) è denso in \(C([0,1])\) rispetto alla norma \(L^\infty\)?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo