L-trasformata Delta di Dirac e sue derivate
Salve a tutti ragazzi, anche questa volta mi trovo qui a richiedere il vostro aiuto! 
Devo risolvere questa equazione integro-differenziale:
$ y''(t)-int_(0)^(t)y(tau)senh(t-tau) d(tau) - y(t)= delta (t) + delta ''(t) $
Allora, l'approccio richiesto dall'esercizio è quello dell'utilizzo della Trasformata di Laplace, qui nascono i problemi... Riuscendo a trasformare tutto il resto dell'equazione, ho dei dubbi sull'ultimo elemento, ovvero la derivata seconda della delta di Dirac.
Ho letto su internet (qui), ma non ho comunque trovato nulla che mi riesca a spiegare come trasformare quel piccolo elementino.
Se provo ad usare le formule a me note, scrivo:
$ L[f^n(t)]= s^nF(s)- sum_( k = \1)^n s^(n-k)d^(k-1)/dt^(k-1)f(0) $
E quindi:
$ L[delta(t)]= 1 $
$ L[delta'(t)]= s*L[delta(t)] - delta(0) = s - delta(0) $
$ L[delta''(t)]= s^2*L[delta(t)] - sdelta(0) - delta'(0)= s^2 - sdelta(0)- delta'(0) $
Da qui i miei dubbi... la delta in 0 non è definita se non sbaglio, quindi come posso dargli un valore e se potessi, perchè proprio 0 come suggeriscono alcuni nel web?
Qualcuno mi potrebbe aiutare a capire?
Grazie mille in anticipo!
Devo risolvere questa equazione integro-differenziale:
$ y''(t)-int_(0)^(t)y(tau)senh(t-tau) d(tau) - y(t)= delta (t) + delta ''(t) $
Allora, l'approccio richiesto dall'esercizio è quello dell'utilizzo della Trasformata di Laplace, qui nascono i problemi... Riuscendo a trasformare tutto il resto dell'equazione, ho dei dubbi sull'ultimo elemento, ovvero la derivata seconda della delta di Dirac.
Ho letto su internet (qui), ma non ho comunque trovato nulla che mi riesca a spiegare come trasformare quel piccolo elementino.
Se provo ad usare le formule a me note, scrivo:
$ L[f^n(t)]= s^nF(s)- sum_( k = \1)^n s^(n-k)d^(k-1)/dt^(k-1)f(0) $
E quindi:
$ L[delta(t)]= 1 $
$ L[delta'(t)]= s*L[delta(t)] - delta(0) = s - delta(0) $
$ L[delta''(t)]= s^2*L[delta(t)] - sdelta(0) - delta'(0)= s^2 - sdelta(0)- delta'(0) $
Da qui i miei dubbi... la delta in 0 non è definita se non sbaglio, quindi come posso dargli un valore e se potessi, perchè proprio 0 come suggeriscono alcuni nel web?
Qualcuno mi potrebbe aiutare a capire?
Grazie mille in anticipo!
Risposte
Nessuno ha suggerimenti? 
Prova ad usare esplicitamente la definizione di trasformata con un po' di rozzezza... Forse torna.
Ciao gugo, non l'ho mostrato qui perchè in realtà non mi ha portato grossi risultati, ma ho provato anche quello...
Allora:
$ L[delta''(t)]= int_(0)^(+oo) (d^2delta(t))/dt^2e^-(st)dt $
Ora, diciamo che già il primo passaggio mi mette problemi. Se integro per parti ottengo:
$ [(ddelta(t))/dte^-(st)]_0^(oo) + s int_(0)^(+oo) (ddelta(t))/dte^-(st) dt $
E siamo sempre lì, cioè devo capire come scrivere la derivata prima della delta di Dirac e soprattutto come valutarla...
Diciamo che se avessi avuto soltanto $ delta'(t) $ il problema sarebbe già risolto, con questo metodo avrei ottenuto semplicemente $ L[delta'(t)]=s $. Qui invece mi ritrovo a dover fare la derivata di una distribuzione e mi sembra difficile che sia questo il procedimento richiesto...
Ho trovato questo, a pagina 4 del pdf si trova una soluzione al mio problema, ma visto che con il prof non abbiamo trattato le distribuzioni fino a questo punto mi sembra male prendere un risultato preso da Internet così senza capirlo e utilizzarlo in un esercizio! :/
Allora:
$ L[delta''(t)]= int_(0)^(+oo) (d^2delta(t))/dt^2e^-(st)dt $
Ora, diciamo che già il primo passaggio mi mette problemi. Se integro per parti ottengo:
$ [(ddelta(t))/dte^-(st)]_0^(oo) + s int_(0)^(+oo) (ddelta(t))/dte^-(st) dt $
E siamo sempre lì, cioè devo capire come scrivere la derivata prima della delta di Dirac e soprattutto come valutarla...
Diciamo che se avessi avuto soltanto $ delta'(t) $ il problema sarebbe già risolto, con questo metodo avrei ottenuto semplicemente $ L[delta'(t)]=s $. Qui invece mi ritrovo a dover fare la derivata di una distribuzione e mi sembra difficile che sia questo il procedimento richiesto...
Ho trovato questo, a pagina 4 del pdf si trova una soluzione al mio problema, ma visto che con il prof non abbiamo trattato le distribuzioni fino a questo punto mi sembra male prendere un risultato preso da Internet così senza capirlo e utilizzarlo in un esercizio! :/
Credo di essermi arreso, andrò dal prof per chiedere chiarimenti riguardo l'esercizio e per capire quale sia il "trucco" che ci sta dietro!
Grazie lo stesso gugo!
Grazie lo stesso gugo!
"Korach":
Ho trovato questo, a pagina 4 del pdf si trova una soluzione al mio problema, ma visto che con il prof non abbiamo trattato le distribuzioni fino a questo punto mi sembra male prendere un risultato preso da Internet così senza capirlo e utilizzarlo in un esercizio! :/
Io non ci vedo niente di male invece. Anche perché è proprio il calcolo fondamentale che ti serve per digerire equazioni differenziali come questa. In ogni caso credo che andare a parlare con il prof sia un'ottima idea.
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