Klein Gordon in una dimensione
Ho tentato di risolvere l'equazione di Klein-Gordon (lineare, omogenea e dipendente da una sola variabile spaziale oltre che dal tempo) con il metodo della trasformata di Fourier.
L'equazione è questa: $ partial ^2/(partial t)^2f-partial ^2/(partial x)^2f+f=0 $
Quello che ottengo è che la trasformata della soluzione vale
$ u(w,t)=e^(w^2) sin(sqrt(1+w^2)*t)/sqrt(1+w^2 $
A questo punto vorrei mostrare che vale la stima $ Sup||f(x,t)|| <= C/sqrt(t) $ dove il sup viene preso al variare di x sull'asse reale, con f ovviamente soluzione dell'equazione di K.G.
Se i conti sono corretti dovrebbe essere che f è l'antitrasformata della u.
Non riesco ad antitrasformare direttamente la funzione sopra. (Ignoranza mia?)
Ho provato anche a fare il cambiamento di variabile $ sqrt(1+w^2)*t=y $ all'interno dell'integrale di Fourier ma anche in questo modo non riesco a ricondurmi alla stima desiderata.
Mi pare che neppure il metodo della fase stazionaria sia applicabile poichè non ci si può mai ricondurre ad un integrale del tipo $ int f(x)e^(iwG(x))dx $ .
Avete qualche suggerimento oppure vi accorgete di qualche errore che non riesco a vedere? Mille grazie!
L'equazione è questa: $ partial ^2/(partial t)^2f-partial ^2/(partial x)^2f+f=0 $
Quello che ottengo è che la trasformata della soluzione vale
$ u(w,t)=e^(w^2) sin(sqrt(1+w^2)*t)/sqrt(1+w^2 $
A questo punto vorrei mostrare che vale la stima $ Sup||f(x,t)|| <= C/sqrt(t) $ dove il sup viene preso al variare di x sull'asse reale, con f ovviamente soluzione dell'equazione di K.G.
Se i conti sono corretti dovrebbe essere che f è l'antitrasformata della u.
Non riesco ad antitrasformare direttamente la funzione sopra. (Ignoranza mia?)
Ho provato anche a fare il cambiamento di variabile $ sqrt(1+w^2)*t=y $ all'interno dell'integrale di Fourier ma anche in questo modo non riesco a ricondurmi alla stima desiderata.
Mi pare che neppure il metodo della fase stazionaria sia applicabile poichè non ci si può mai ricondurre ad un integrale del tipo $ int f(x)e^(iwG(x))dx $ .
Avete qualche suggerimento oppure vi accorgete di qualche errore che non riesco a vedere? Mille grazie!
Risposte
[xdom="gugo82"]Non vedo perché alzare la voce.
Elimina il maiuscolo dal titolo.[/xdom]
Elimina il maiuscolo dal titolo.[/xdom]
Sarebbe meglio se postassi qualche passaggio.
Ad esempio, detta \(F(\omega, t)\) la trasformata di \(f(x,t)\), la EDO per \(F\) è:
\[
\ddot{F}(\omega ,t) + (1+\omega^2)\ F(\omega ,t)=0
\]
o sbaglio? Come la risolvi?
Ad esempio, detta \(F(\omega, t)\) la trasformata di \(f(x,t)\), la EDO per \(F\) è:
\[
\ddot{F}(\omega ,t) + (1+\omega^2)\ F(\omega ,t)=0
\]
o sbaglio? Come la risolvi?
La risolvo ipotizzando una soluzione esponenziale del tipo:
$ F(w,t)=e^(K(w).t $
Da cui si ricava, per sostituzione diretta che
$ K(w)=isqrt(1+w^2) $
$ K(w)=-isqrt(1+w^2) $
In generale allora sarà:
$ F(w,t)=A(w)e^(isqrt(w^2+1))+B(w)e^(-isqrt(w^2+1)) $
Imponendo la prima condizione iniziale si trova: $ A(w)=-B(w) $ .
Cioè: $ F(w)=2iA(w)sin(sqrt(w^2+1)*t) $
Imponendo la seconda condizione iniziale e ricavando il valore di A(w) si trova proprio:
$ F(w,t)=e^(-w^2/4).sin(sqrt(w^2+1)*t)/sqrt(w^2+1 $
$ F(w,t)=e^(K(w).t $
Da cui si ricava, per sostituzione diretta che
$ K(w)=isqrt(1+w^2) $
$ K(w)=-isqrt(1+w^2) $
In generale allora sarà:
$ F(w,t)=A(w)e^(isqrt(w^2+1))+B(w)e^(-isqrt(w^2+1)) $
Imponendo la prima condizione iniziale si trova: $ A(w)=-B(w) $ .
Cioè: $ F(w)=2iA(w)sin(sqrt(w^2+1)*t) $
Imponendo la seconda condizione iniziale e ricavando il valore di A(w) si trova proprio:
$ F(w,t)=e^(-w^2/4).sin(sqrt(w^2+1)*t)/sqrt(w^2+1 $
L'ultimo passaggio deriva naturalmente dal fatto che la trasformata di una gaussiana è ancora una gaussiana.
Comunque ragazzi, questa questione alla fine l'ho risolta, e viene fuori qualcosa di interessante.
$ u(x,t)=int_R e^(-w^2/4).sin(sqrt(w^2+1)*t)/sqrt(w^2+1)*e^(-iwx)dw $ .
Questa è la soluzione. Ma io voglio fare una stima e ricondurmi ad un integrale nella forma $ int_R f(x)e^(it*g(x)) $ per applicare il metodo della fase stazionaria. Beh, ponendo $ x=V*t $ e usufruendo della formula di Eulero per riscrivere il seno sotto forma di differenza fra esponenziali complessi si trova che $ u(x,t)=I1+I2 $ con $ I1=int_R e^(-w^2)/sqrt(w^2+1)*e^(it(sqrt(w^2+1)+Vw) )dw $ . Basta stimare questo termine, visto che per I2 le cose procedono in maniera del tutto analoga. Beh, quand'è che la fase in questo caso può essere stazionaria?
Facendo una derivata vi accorgerete che la condizione è che sia $ |V|<1 $ . In sostanza, siamo all'interno del cono luce. A questo punto si può applicare il principio di fase stazionaria e vale la stima di cui chiedevo un aiuto per la dimostrazion (e che alla fine sono riuscito a dimostrare), e questo ci dice che $ I1<=C/sqrtt $ analoga stima per I2. Quindi in sostanza $ |u(x,t)|<=D/sqrtt $ . Se siamo fuori dal cono luce ovvero vale $ |V|>1 $ si può integrare per parti moltiplicando e dividendo per la derivata della fase e si ottiene la stima $ |u(x,t)|<=D/t^N $ per ogni numero naturale N.
Se a qualcuno interessano i passaggi li posso postare tranquillamente.
E se trovate errori o cose poco precise sono felice di discuterne
$ u(x,t)=int_R e^(-w^2/4).sin(sqrt(w^2+1)*t)/sqrt(w^2+1)*e^(-iwx)dw $ .
Questa è la soluzione. Ma io voglio fare una stima e ricondurmi ad un integrale nella forma $ int_R f(x)e^(it*g(x)) $ per applicare il metodo della fase stazionaria. Beh, ponendo $ x=V*t $ e usufruendo della formula di Eulero per riscrivere il seno sotto forma di differenza fra esponenziali complessi si trova che $ u(x,t)=I1+I2 $ con $ I1=int_R e^(-w^2)/sqrt(w^2+1)*e^(it(sqrt(w^2+1)+Vw) )dw $ . Basta stimare questo termine, visto che per I2 le cose procedono in maniera del tutto analoga. Beh, quand'è che la fase in questo caso può essere stazionaria?
Facendo una derivata vi accorgerete che la condizione è che sia $ |V|<1 $ . In sostanza, siamo all'interno del cono luce. A questo punto si può applicare il principio di fase stazionaria e vale la stima di cui chiedevo un aiuto per la dimostrazion (e che alla fine sono riuscito a dimostrare), e questo ci dice che $ I1<=C/sqrtt $ analoga stima per I2. Quindi in sostanza $ |u(x,t)|<=D/sqrtt $ . Se siamo fuori dal cono luce ovvero vale $ |V|>1 $ si può integrare per parti moltiplicando e dividendo per la derivata della fase e si ottiene la stima $ |u(x,t)|<=D/t^N $ per ogni numero naturale N.
Se a qualcuno interessano i passaggi li posso postare tranquillamente.
E se trovate errori o cose poco precise sono felice di discuterne
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