$K$ compatto $Rightarrow$ $K$ limitato
Nella dimostrazione del noto teorema: $K$ compatto $Rightarrow$ $K$ chiuso e limitato
come si prova che $K$ è limitato? Mi ricordo che l'argomento concerneva una prova per assurdo.
Grazie...
come si prova che $K$ è limitato? Mi ricordo che l'argomento concerneva una prova per assurdo.
Grazie...
Risposte
Se fosse illimitato (per pervenire ad un assurdo) bisognerebbe trovare una successione le cui successioni estratte sono tutte divergenti. Ma come si fa?
Ma in che contesto? $K \subset RR$? Prendi la successione di intervalli $[-n , n]$. Dire che $K$ è limitato equivale a dire che esiste $nu$ tale che per ogni $n ge nu$ risulta $K subset [-n, n]$. Per assurdo, supponi sia vera la negazione di questa proposizione e vedi che succede.
"dissonance":
Ma in che contesto? $K \subset RR$? Prendi la successione di intervalli $[-n , n]$. Dire che $K$ è limitato equivale a dire che esiste $nu$ tale che per ogni $n ge nu$ risulta $K subset [-n, n]$. Per assurdo, supponi sia vera la negazione di questa proposizione e vedi che succede.
Eh, no. In uno spazio metrico qualunque (scusa se non l'ho specificato in prima battuta).
Prendi $k in NN$, $I$ seq compatto. Consideriamo $ {x_k} in I $.
Per assurdo, supponiamo inoltre che $ | x_k | > k forall k$ ( ovvero $I$ non limitato ).
Se estraiamo $ { x_(k_n) } $ da $ { x_k } $, per $I$ compatto avremo che $ { x_(k_n) } -> bar x in I$.
Per il teorema delle successioni estratte, però, avremo anche che $ x_k -> bar x $, il che è un'assurdo in quanto
$| x_k | = | x_k - bar x + bar x | <= | x_k - bar x| + | bar x |$
Tuttavia, dato che il primo termine è infinitesimo, ed il secondo è un certo $M$ ( finito, ovviamente ), abbiamo ottenuto
$ | x_k | < M $ in contrasto con l'ipotesi $ | x_k | > k forall k$
Per assurdo, supponiamo inoltre che $ | x_k | > k forall k$ ( ovvero $I$ non limitato ).
Se estraiamo $ { x_(k_n) } $ da $ { x_k } $, per $I$ compatto avremo che $ { x_(k_n) } -> bar x in I$.
Per il teorema delle successioni estratte, però, avremo anche che $ x_k -> bar x $, il che è un'assurdo in quanto
$| x_k | = | x_k - bar x + bar x | <= | x_k - bar x| + | bar x |$
Tuttavia, dato che il primo termine è infinitesimo, ed il secondo è un certo $M$ ( finito, ovviamente ), abbiamo ottenuto
$ | x_k | < M $ in contrasto con l'ipotesi $ | x_k | > k forall k$
Una possibilità è questa.
Sia $K$ un sottoinsieme compatto dello spazio metrico $(X,d)$.
Considera il ricoprimento aperto costituito dalle palle $B_1(x)$, $x\in K$.
Da questo puoi estrarre un sottoricoprimento finito $B_1(x_1),\ldots B_1(x_n)$ di $K$.
Definiamo $M = "max" \{d(x_i, x_j): i,j=1,\ldots,n\}$, e dimostriamo che $"diam" K \le M+2$.
Infatti, per ogni coppia di punti $x,y\in K$ esistono $i,j\in\{1,\ldots n\}$ t.c. $x\in B_1(x_i)$, $y\in B_1(x_j)$, quindi
$d(x,y) \le d(x, x_i) + d(x_i, x_j) + d(x_j, y) \le M+2$.
Sia $K$ un sottoinsieme compatto dello spazio metrico $(X,d)$.
Considera il ricoprimento aperto costituito dalle palle $B_1(x)$, $x\in K$.
Da questo puoi estrarre un sottoricoprimento finito $B_1(x_1),\ldots B_1(x_n)$ di $K$.
Definiamo $M = "max" \{d(x_i, x_j): i,j=1,\ldots,n\}$, e dimostriamo che $"diam" K \le M+2$.
Infatti, per ogni coppia di punti $x,y\in K$ esistono $i,j\in\{1,\ldots n\}$ t.c. $x\in B_1(x_i)$, $y\in B_1(x_j)$, quindi
$d(x,y) \le d(x, x_i) + d(x_i, x_j) + d(x_j, y) \le M+2$.
Per me , per il corso che ho fatto , compatto significa solo compatto per successioni ... Purtroppo.
Comunque ci ho pensato un po' e la cosa mi si è chiarita. Si può scrivere semplicemente il seguente ragionamento?
Per assurdo sia $K$ illimitato. In $K$ esistono successioni divergenti le quali, naturalmente, non hanno sottosuccessioni convergenti; contro l'ipotesi che $K$ sia compatto.
Comunque ci ho pensato un po' e la cosa mi si è chiarita. Si può scrivere semplicemente il seguente ragionamento?
Per assurdo sia $K$ illimitato. In $K$ esistono successioni divergenti le quali, naturalmente, non hanno sottosuccessioni convergenti; contro l'ipotesi che $K$ sia compatto.
Se usi la compattezza per successioni puoi usare la dimostrazione di pater con gli ovvi aggiustamenti (che corrisponde all'idea da te riportata).
Mi è chiaro. Secondo te è un fatto abbastanza chiaro (evidente, per quanto questo termine si presti ad interrogativi più filosofici) che se ho un insieme illimitato posso definire una successione divergente?
Grazie a tutti per le risposte.
Grazie a tutti per le risposte.
"Seneca":
Secondo te è un fatto abbastanza chiaro (evidente, per quanto questo termine si presti ad interrogativi più filosofici) che se ho un insieme illimitato posso definire una successione divergente?
Sia $A$ il tuo sottoinsieme illimitato dello spazio metrico $(X,d)$.
Fissa $x_0\in A$. Essendo $A$ illimitato, per ogni $n\in\mathbb{N}$ esiste $x_n\in A$ tale che $d(x_n, x_0) > n$.
Perfetto. 
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