Jacobiano della trasformazione

[xXFedericXx]

Quando si fa il cambiamento di variabili negli integrali doppi spunta fuori lo jacobiano che il professore spiegando ha detto che da un punto di vista geometrico è il rapporto tra aree infinitesime.

$\int int f(x,y) dxdy=\int int f(x(u,v),y(u,v))| det ((del(x,y))/(del(u,v))) | dudv$

Siccome il mio professore non ha dimostrato quest'ultima affermazione io non ne sono convito. Guardando nel mio libro (Fusco-Marcellini-Sbordone Analisi Matematica 2) trovo scritto che " posto f(x,y)=1 si perviene alla formula dell'area dell'insieme immagine D. $m(D)=\int int | det ((del(x,y))/(del(u,v))) | dudv$ (il mio libro $| det ((del(x,y))/(del(u,v))) |$ intende lo jacobiano)
Il significato geometrico del determinante dello jacobiano è quindi quello di esprimere l'elemento di area dell'immagine tramite l'appicazione $\phi:(u,v)inT\to(x(u,v),y(u,v))$. Infatti, se $(u_0,v_0)inT$ segue che

$ | det ((del(x,y))/(del(u,v)))(u_0,v_0) |=\lim_{r \to 0}(m(\phi(I_r)))/(m(I_r))$

dove $I_r$ è il cerchio di centro $(u_0,v_0)$ e raggio r."

Però non riesco proprio a capire PERCHE' lo jacobiano è uguale a quel limite che c'è nel mio libro.

Lo so di aver scritto molto però così almeno avete capito bene qual'è il mio dubbio e spero che qualcuno possa chiarirmi questo dubbio che mi porto dietro da un paio di mesi.

[Quinzio]

Mi sembra che quel limite vada considerato per $r->0$ e non per $r->oo$.
Controlla sul libro, mi sembra strano che ci sia scritto così.
Il rapporto definito dallo jacobiano è tra le aree infinitesime non infinite....

[xXFedericXx]

Si hai ragione ho sbagliato a scrivere, ora lo modifico. Grazie