Jacobiano

[dRic]

Ciao, mi trovo di fronte un bel problemino trovato in un libro di fisica. Sono molto indeciso sulla sezione in cui debba essere inserito... In ogni caso eccolo: ho un integrale del tipo
$$\int f(v, V) d \mathbf v d \mathbf V$$
dove $\mathbf v$ e $\mathbf V$ hanno il senso fisico di velocità (v "piccola" riferita al corpo A, mentre V "grande" è riferita a corpo B).
Devo mostrare che lo Jacobiano della seguente trasformazione $\mathbf v_r = \mathbf v - \mathbf V$ e $\mathbf c = \frac {m \mathbf v + M \mathbf V} {m+M}$ è unitario.

Provare a fare i calcoli diretti mi paure un po' una pazzia... però ho come il feeling che venga una matrice diagonale con tutti termini uno. Qualcuno avrebbe una idea su come potrei procedere ? Magari qualche considerazione fisica potrebbe aiutare ?

[pilloeffe]

Ciao dRic,

Sicuro di $ \mathbf c = \frac{m \mathbf v + \mathbf V}{m+M} $?
Dimensionalmente non torna, perché $ \mathbf c $ dovrebbe avere le dimensioni di una velocità, per cui casomai propenderei per

$ \mathbf c = \frac{m \mathbf v + M \mathbf V}{m+M} $

[fmnq]

Il che ha anche più senso dato che il cambio di coordinate è quello -> velocità relativa, massa ridotta.

Unitario cosa significa, qui?

[dRic]

Si ovvio, mi sono dimentica una $M$. Scusate, correggo subito.

[dRic]

"fmnq":
Unitario cosa significa, qui?

Penso che faccia 1. Non credo ci siano delle masse di mezzo

[dRic]

Risolto semplicemente mettendomi a fare i calcoli. Sono pigro, lo so, e quando ho scritto il post non ci avevo ancora provato.

Prendendo le trasformazioni scritte sopra il Jacobiano diventa:

\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & \frac m {m+M} & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0& \frac m {m+M} & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \frac m {m+M} \\
-1 & 0 & 0 & \frac M {m+M} & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 & \frac M {m+M} & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \frac M {m+M} \\
\end{bmatrix}

Sommando la prima con la quarta riga, così come la seconda con la quinta e la terza con la sesta ottendo la matrice identità.