Jacobiana del gradiente?

[umbe14]

Salve, scusate stavo pensando al concetto di Jacobiana e alle funzioni vettoriali. Essendo il gradiente una funzione vettoriale, ho pensato, potrebbe ammettere una Jacobiana, che dovrebbe essere il prodotto tensoriale tra $\nabla$ e $\gradf$.
Ora, se $E=\gradf=(\delf)/(\delx) u_x+(\delf)/(\dely) u_y+(\delf)/(\delz) u_z$ e poiché il prodotto tensoriale con nabla dovrebbe darmi la Jacobiana, dovrei ottenere un tensore con componenti $(\delE)/(\delx_i)$ e quindi dovrebbe risultare in qualcosa tipo:
$J=|((\del^2f_x)/(\delx^2), (\del^2f_x)/(\delx\dely), (\del^2f_x)/(delx\delz)), ((\del^2f_y)/(\dely\delx), (\del^2f_y)/(\dely^2), (\del^2f_y)/(\dely\delz)), ((\del^2f_z)/(\delz\delx), (\del^2f_z)/(\delz\dely), (\del^2f_z)/(\delz^2))|$ giusto?
Dato che le funzioni componenti della funzione vettoriale gradiente sono già le derivate parziali prime di $f$. Inoltre, dato che le componenti di tale tensore, in generale di ogni Jacobiana, sono funzioni, questa rappresenta un campo tensoriale, corretto? Ora, la mia domanda è: esiste questo campo tensoriale? E' ammesso dal gradiente? Cosa rappresenta fisicamente?

[Bokonon]

Ma stai cercando di riscoprire l'Hessiana?

[umbe14]

Ah **** è vero: è una matrice Hessiana. Ah, ho letto ora, che l'hessiana rappresenta la jacobiana del gradiente: non me lo ricordavo per nulla, anche perché nel programma di matematica che sto facendo, stranamente, c'è l'Hessiana (essendoci il calcolo di punti stazionari) ma non c'è la Jacobiana. Quindi è comunque un tensore l'Hessiana, dato che la Jacobiana è un prodotto tensoriale. Ma allora l'Hessiana è ammessa solamente da funzioni che rappresentano campi scalari, e quindi che ammettono gradiente?

[umbe14]

Quindi, a questo punto, perché usare l'Hessiana (ora che so che di fatto rappresenta un tensore ed in particolare un campo tensoriale) per verificare la natura dei punti stazionari? E perché sono proprio quelle le condizioni che determinano la natura dei punti? Chiedo scusa se faccio domande banali ma purtroppo né sul libro, né sulle dispense è spiegata una dimostrazione di ciò.

[Bokonon]

"umbe":Quindi, a questo punto, perché usare l'Hessiana (ora che so che di fatto rappresenta un tensore ed in particolare un campo tensoriale) per verificare la natura dei punti stazionari? E perché sono proprio quelle le condizioni che determinano la natura dei punti? Chiedo scusa se faccio domande banali ma purtroppo né sul libro, né sulle dispense è spiegata una dimostrazione di ciò.

Dimentica cosa rappresenta per una funzione vettoriale, ok?
Prova a tornare con la testa all'esame di algebra lineare, ok?
Se ricordi, quando dovevi identificare una quadrica usavi dei test sui minori della matrice, ricordi? Sono basati sul teorema di Sylvester se non ricordo male. Concettualmente analizzavi i determinanti dei due minori di una matrice 2x2 per "catagolare" le quadriche (paraboloide o un iperboloide o una curva degenere). Per le funzioni f(x,y) fai la stessa cosa. Determini i punti di interesse e poi usi la matrice delle derivate seconde per conoscere la forma e la concavità in uno di quei specifici punti.
Il determinante dell'intera matrice hessiana 2x2 ti dice il tipo di "curva": se è positivo allora vuol dire in quel punto la curva si comporta come un paraboloide (nel suo intorno). Il primo minore è semplicemente il valore in alto a sinistra della matrice 2x2, quindi il suo determinante è semplicemente se stesso e ti dice se il paraboloide è rivolto con la concavità verso l'alto (il valore è positivo) o verso il basso (il valore è negativo). Se il paraboloide è rivolto verso l'alto, allora è un punto di minimo relativo e viceversa, no?
Se invece il determinante dell'intera matrice è negativo intorno a quel punto la curvatura è parabolica, quindi è un punto di sella.
Se invece il determinante è zero ci si attacca al tram (il test è inconclusivo).

Insomma, usiamo la matrice delle derivate seconde applicando i medesimi concetti di algebra lineare...il test è tutto qua.
Chiaro che se ti chiedono di trovare massimi e minimi di una f(x,y,z) allora sono cacchi. Quel test funziona solo per funzioni a due variabili...dovresti estenderlo a quello per funzioni di terzo grado (quindi la matrice è 3x3 e ci sono tre minori da analizzare etc etc).

Come al solito non sono ne volevo essere rigoroso...ma spero di averti dato una visione geometrica del significato del test.

[umbe14]

Yo bello, vacci piano ahahahah! Studio geologia e non ho fatto un esame a sé di sola algebra lineare. Del teorema di Sylvester ne ho sentito parlare, perché mi interesso per conto mio delle cose, ma non lo ho studiato. Ho visto che nella mia università è insegnato nel corso di algebra e geometria dei corsi di laurea triennale in fisica e matematica pure e basta. Ho chiesto anche a miei amici che studiano ingegneria a Milano e non hanno mai sentito neppure parlare di tale teorema; non è citato in nessun programma né di algebra e geometria né tanto meno di analisi. Non so, ma evidentemente non serve a ingegneria o in altre scienze. C'è un modo per spiegare la cosa senza servirsi di tale teorema? Più che altro perché altrimenti dovrei andare a studiarmi anche questo e apro mille scatole cinesi nello studio ahahah