$J_v$ risolve equazione autovalori
Ciao, amici!
Sto cercando di dimostrare che la funzione di Bessel $J_v(sqrt(x^2+y^2))=\sum_{n=0}^{oo} (-1)^n/(2^(2n+v)n!(v+n)!) (sqrt(x^2+y^2))^(2n+v)$ risolve l'equazione agli autovalori $\Delta u(x,y)= (\partial^2u)/(\partialx^2)+(\partial^2u)/(\partialy^2)=-\lambdau(x,y)$ per qualche $\lambda$. Ho derivato termine a termine in coordinate polari -ottenendo gli stessi risultati che ho ottenuto con le cartesiane, che ho utilizzato per verifica- con $\Delta u(x,y) =u_(rr)(rcos\theta,rsin\theta)+r^-2u_(\theta\theta)(rcos\theta,rsin\theta)+r^-1u_r (rcos\theta,rsin\theta)$) -e così continuo perché è più sintetico scrivere con $r=sqrt(x^2+y^2)$- ed ottenuto che
$(\partial^2 J_v)/(\partial x^2)+(\partial^2 J_v)/(\partial y^2)= \sum_{n=0}^{oo} ((2n+v)(2n+v-1) (-1)^n)/(2^(2n+v)n!(v+n)!) r^(2n+v-2)+ r^-1 \sum_{n=0}^{oo}( (2n+v) (-1)^n)/(2^(2n+v)n!(v+n)!) r^(2n+v-1)$
$=\sum_{n=0}^{oo} ((2n+v)^2(-1)^n)/(2^(2n+v)n!(v+n)!) r^(2n+v-2)$ che non vedo come sia multiplo di $J_v(r)=\sum_{n=0}^{oo} (-1)^n/(2^(2n+v)n!(v+n)!) r^(2n+v)$...
Qualcuno sarebbe così buono da suggerirmi come procedere...?
Grazie di cuore a tutti!!!
Sto cercando di dimostrare che la funzione di Bessel $J_v(sqrt(x^2+y^2))=\sum_{n=0}^{oo} (-1)^n/(2^(2n+v)n!(v+n)!) (sqrt(x^2+y^2))^(2n+v)$ risolve l'equazione agli autovalori $\Delta u(x,y)= (\partial^2u)/(\partialx^2)+(\partial^2u)/(\partialy^2)=-\lambdau(x,y)$ per qualche $\lambda$. Ho derivato termine a termine in coordinate polari -ottenendo gli stessi risultati che ho ottenuto con le cartesiane, che ho utilizzato per verifica- con $\Delta u(x,y) =u_(rr)(rcos\theta,rsin\theta)+r^-2u_(\theta\theta)(rcos\theta,rsin\theta)+r^-1u_r (rcos\theta,rsin\theta)$) -e così continuo perché è più sintetico scrivere con $r=sqrt(x^2+y^2)$- ed ottenuto che
$(\partial^2 J_v)/(\partial x^2)+(\partial^2 J_v)/(\partial y^2)= \sum_{n=0}^{oo} ((2n+v)(2n+v-1) (-1)^n)/(2^(2n+v)n!(v+n)!) r^(2n+v-2)+ r^-1 \sum_{n=0}^{oo}( (2n+v) (-1)^n)/(2^(2n+v)n!(v+n)!) r^(2n+v-1)$
$=\sum_{n=0}^{oo} ((2n+v)^2(-1)^n)/(2^(2n+v)n!(v+n)!) r^(2n+v-2)$ che non vedo come sia multiplo di $J_v(r)=\sum_{n=0}^{oo} (-1)^n/(2^(2n+v)n!(v+n)!) r^(2n+v)$...
Qualcuno sarebbe così buono da suggerirmi come procedere...?
Grazie di cuore a tutti!!!
Risposte
Credo che la mia difficoltà nascesse dal fatto che non pensavo che $\lambda$ si potesse esprimere in funzione di $r$, cosa che invece penso si possa fare (fissando $x^2+y^2$)... o no?
Se sì, mi sembrerebbe facile, tenendo conto che $J_v(x)$ risolve appunto l'equazione di Bessel
\[ x^2 \frac{\partial^2y}{\partial x^2} +x \frac{\partial y}{\partial x}+ (x^2-v^2) y(x)=0 \]
vedere che, tenendo conto dell'espressione del laplaciano in coordinate polari che ho riportato nel post di sopra,
\[ \Delta J_v(x,y)=\frac{\partial^2 J_v}{\partial r^2} +\frac{1}{r} \frac{\partial J_v}{\partial r} =\frac{v^2-r^2}{r^2} J_v(\sqrt{x^2+y^2}) \]
da cui direi che $\lambda=1-v^2/r^2$. Che cosa ne pensate?
$+oo$ grazie a tutti!!!
Se sì, mi sembrerebbe facile, tenendo conto che $J_v(x)$ risolve appunto l'equazione di Bessel
\[ x^2 \frac{\partial^2y}{\partial x^2} +x \frac{\partial y}{\partial x}+ (x^2-v^2) y(x)=0 \]
vedere che, tenendo conto dell'espressione del laplaciano in coordinate polari che ho riportato nel post di sopra,
\[ \Delta J_v(x,y)=\frac{\partial^2 J_v}{\partial r^2} +\frac{1}{r} \frac{\partial J_v}{\partial r} =\frac{v^2-r^2}{r^2} J_v(\sqrt{x^2+y^2}) \]
da cui direi che $\lambda=1-v^2/r^2$. Che cosa ne pensate?
$+oo$ grazie a tutti!!!
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