Isometria o isomorfismo

[Webster]

Studiando la procedura di completamento degli spazi metrici ho potuto constatare che lo spazio metrico completo che si ottiene è unico a meno di isometrie. In rete ho però trovato delle dispense in cui si afferma che dato un kernel riproducente questo identifica uno spazio di Hilbert a kernel riproducente a meno di isomorfismi: tale affermazione credo si riferisca al teorema di Moore-Aronszajn il quale però utilizza proprio la summenzionata procedura di completamento. Non sarebbe quindi più corretto dire che un kernel riproducente identifica uno spazio di Hilbert a kernel riproducente unico a meno di isometrie? Grazie

[onlyReferee]

Ciao Webster
Non mi addentro nei dettagli di tale teorema da te citato solo perché preferisco esporti prima la mia idea a livello intuitivo. Con il kernel prendi in considerazione le immagini generate data una certa funzione, nelle isometrie invece si specifica che tramite la funzione isometria è la distanza definita nel primo spazio metrico che viene preservata. In sintesi ciò che voglio dire è che l'isomorfismo è un concetto un po' più generico il quale afferma che la funzione definita tra le due strutture (dello stesso tipo chiaramente) considerate (nella fattispecie spazi di Hilbert) è sia iniettiva che suriettiva (e pertanto biettiva) ma parla di strutture in generale senza far riferimento al fatto che gli spazi siano metrici o meno (in caso di spazi non metrici infatti sappiamo che la funzione distanza non è solitamente definita).
Dimmi pure se ho fatto confusione o non sono stato chiaro nell'esporti la mia interpretazione, mi rendo conto che con tali concetti è molto facile perdersi .

[dissonance]

Ciao, intervengo per dire la mia. Mi pare che la cosa sia molto più semplice, è solo un fatto di notazioni. Di solito quando uno dice "isomorfismo", intende genericamente una applicazione che preserva la struttura in questione. Se leggo "isomorfismo di spazi di Hilbert", ad esempio, istintivamente penso a una applicazione bigettiva che conserva il prodotto scalare. Se leggo "isomorfismo di spazi metrici", invece, penso ad una applicazione bigettiva e isometrica. Eccetera.

Il teorema di completamento degli spazi metrici afferma che il completamento di uno spazio metrico è unico a meno di isometrie. Se però lo spazio metrico è di "pre-Hilbert", ovvero è uno spazio a prodotto scalare, allora il completamento ha struttura di spazio di Hilbert ed è unico a meno di isomorfismi (di spazi di Hilbert, naturalmente).

Questo credo basti a risolvere il dubbio dell'OP