Irrotazionalità su dominio semplicemente connesso
Salve a tutti,
vorrei chidere una precisazione sulla dimostrazione del fatto che se considero un dominio semplicemente connesso, la condizione di irrotazionalità di un campo è anche sufficiente perché questo sia conservativo.
Io so che un dominio $D$ è semplicemente connesso se presa una qualsiasi curva chiusa regolare $\gamma$, questa è la frontiera di un insieme $B sub\ D$ .
Poi so che condizione necessaria e sufficiente affinché un campo sia conservativo in un dominio è che il lavoro calcolato lungo una curva chiusa e regolare contenuta nel dominio, sia nullo.
A questo punto, uso il teorema di Stokes, secondo cui:
$\int int_D rot(F) dxdy=\int_(\deltaD) ds $ (dalle formule di Gauss-Green).
Supponendo che D sia semplicemente connesso, consideriamo un campo F che sia irrazionale, e alla luce della precedente definizione di insieme semplicemente connesso applichiamo il teorema di Stokes al dominio B:
$\int int_B rot(F) dxdy=0=\int_(\deltaB) ds $
e segue la tesi. Il mio unico dubbio è: io ho considerato che il dominio D fosse semplicemente connesso, non il dominio B, su cui poi applico il teorema per dimostrare l'ipotesi iniziale; è perchè un insieme contenuto interamente in uno semplicemente connesso, è anch'esso semplicemente connesso? Quindi se lo è D, lo è anche B?
Grazie in anticipo
Valentina
vorrei chidere una precisazione sulla dimostrazione del fatto che se considero un dominio semplicemente connesso, la condizione di irrotazionalità di un campo è anche sufficiente perché questo sia conservativo.
Io so che un dominio $D$ è semplicemente connesso se presa una qualsiasi curva chiusa regolare $\gamma$, questa è la frontiera di un insieme $B sub\ D$ .
Poi so che condizione necessaria e sufficiente affinché un campo sia conservativo in un dominio è che il lavoro calcolato lungo una curva chiusa e regolare contenuta nel dominio, sia nullo.
A questo punto, uso il teorema di Stokes, secondo cui:
$\int int_D rot(F) dxdy=\int_(\deltaD)
Supponendo che D sia semplicemente connesso, consideriamo un campo F che sia irrazionale, e alla luce della precedente definizione di insieme semplicemente connesso applichiamo il teorema di Stokes al dominio B:
$\int int_B rot(F) dxdy=0=\int_(\deltaB)
e segue la tesi. Il mio unico dubbio è: io ho considerato che il dominio D fosse semplicemente connesso, non il dominio B, su cui poi applico il teorema per dimostrare l'ipotesi iniziale; è perchè un insieme contenuto interamente in uno semplicemente connesso, è anch'esso semplicemente connesso? Quindi se lo è D, lo è anche B?
Grazie in anticipo
Valentina
Risposte
Se $b\subset D$ non fosse semplicemente connesso avrebbe dei buchi che verrebbero ereditati anche da $D$, che però è semplicemente connesso e non può averne, quindi...
...esatto, quindi se lo è B lo è anche D. Perfetto, grazie mille!
Semmai il contrario: se quello più grande fa una cosa, lo fa quello più piccolo (primo principio di inclusione logica).
Però se c'è un "buco" nell'insieme B c'è sicuramente anche in D, ma se c'è in D potrebbe non essere anche in B, perché potrebbe essere fuori, cioè tra la frontiera di D e la frontiera di B!
Appunto, quindi questo vuol dire che se $D$ è fatto bene lo è anche quello dentro di esso. Se invece $D$ fosse fatto male, potrebbe accadere che $B$ sia fatto bene: per cui $B$ potrebbe essere semplicemente connesso mentre $D$ no.. Pensaci su un attimo e vedrai che è così. 
è così
Scusate, altro dubbio: ma il teorema del rotore lo posso applicare solo su domini semplicemente connessi?
Anzi: le formule di Gauss-Green sono valide solo su domini semplicemente connessi? Ho cercato un po' in giro come deve essere il dominio su cui valgono le formule, da qualche parte ho trovato "compatto" , da qualche parte solo "regolare", oppure solo "chiuso" .... insomma, non riesco a chiarirmi le idee!
Anzi: le formule di Gauss-Green sono valide solo su domini semplicemente connessi? Ho cercato un po' in giro come deve essere il dominio su cui valgono le formule, da qualche parte ho trovato "compatto" , da qualche parte solo "regolare", oppure solo "chiuso" .... insomma, non riesco a chiarirmi le idee!
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