Irrotazionale implica conservativo in un insieme S.C.

[giolb10]

buongiorno, stò preparando l'orale di analisi 2 è il docente chiede di dimostrare che irrotazionale implica conservativo in un insieme s. connesso sia nel piano che il caso generale.
ho cercato su internet ma non ho trovato niente, il libro tralascia la dimostrazione e la prende per buona, il docente nelle sue lezioni ha fatto lo stesso.
ora quindi stò cercando da ieri una buona dimostrazione senza successo. potete darmi quindi una mano?
ho una vaga idea di come si potrebbe fare(molto vaga), ma aspetto una vostra proposta o comunque un collegamento a qualche pagina dove dimostri tale affermazione.
grazie

[ciampax]

Basta usare le definizioni di campo irrotazionale, campo conservativo e il Teorema di Stokes.

[giolb10]

ciao ciampax, ti ringrazio per la risposta. si anche io avevo pensato di usare il teorema di gauss-green nel piano(poi per quella generale avrei fatto ricorso a stokes) la questione sarebbe far vedere che il lavoro è nullo, quindi campo conservatico come dici tu(magari di una circonferenza centra nell'origine e percorsa in senso antiorario) a questo punto sò che il rotore è il vettore nullo. ma non riesco ad impostarlo in modo rigoroso, penso di aver intuito e capito il discorso che sta alla base, ma mi risulta un pò più complicato affrontare il seguito.
tu come imposteresti la dimostrazione?

[giolb10]

nessuno può darmi qualche aiuto?

[squall1]

mi attacco a questo post perchè anche a me interesserebbe avere una risposta riguardo a questo argomento...qualcuno è così gentile da rispondere..?

[ciampax]

Supponiamo che [tex]$F$[/tex] sia il nostro campo irrotazionale sul dominio [tex]$D$[/tex] semplicemente connesso. Sia [tex]$C$[/tex] una qualsiasi curva chiusa contenuta in [tex]$D$[/tex], parametrizzata da [tex]$r(t)$[/tex]: poiché esso e semplicemente connesso esisterà una superficie [tex]$S\subset D$[/tex] tale che [tex]$C=\partial S$[/tex]. Per il Teorema di Stokes si ha, detta [tex]$\nu$[/tex] la normale esterna alla superficie,

[tex]$\int_C < F , r' > \ ds=\iint_S < \nabla\times F , \nu > \ d\sigma=0$[/tex]

con [tex]$< , >$[/tex] ho indicato il prodotto scalare.