Irrazionalità di $log_2 3$
Buongiorno a tutti.
Vorrei chiedere un riscontro per questa piccola dimostrazione che ho provato a scrivere.
Si chiede di dimostrare l'irrazionalità di $log_2 3$.
Ho provato così: sia per assurdo $m/n=log_2 3$, ovvero
$2^(m/n) = 3 hArr 2^m=3^n hArr 2^m/3^n=1 hArr (2*2*2*...*2)/(3*3*3*3*...*3)=1 $.
Ma allora nell'ultima frazione dovrebbero semplificarsi ogni termine del numeratore con ogni termine del denominatore, il che è assurdo perché 2 e 3 sono coprimi.
Quindi non esiste $m/n in QQ$ tale che $m/n=log_2 3$.
E' corretta? Ringrazio anticipatamente per le risposte.
Vorrei chiedere un riscontro per questa piccola dimostrazione che ho provato a scrivere.
Si chiede di dimostrare l'irrazionalità di $log_2 3$.
Ho provato così: sia per assurdo $m/n=log_2 3$, ovvero
$2^(m/n) = 3 hArr 2^m=3^n hArr 2^m/3^n=1 hArr (2*2*2*...*2)/(3*3*3*3*...*3)=1 $.
Ma allora nell'ultima frazione dovrebbero semplificarsi ogni termine del numeratore con ogni termine del denominatore, il che è assurdo perché 2 e 3 sono coprimi.
Quindi non esiste $m/n in QQ$ tale che $m/n=log_2 3$.
E' corretta? Ringrazio anticipatamente per le risposte.
Risposte
Si, volendo potevi concludere prima a $2^m=3^n$ dicendo che non hanno fattori primi in comune, assurdo.
Grazie mille.
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