Irrazionalità di $e$. Taylor-Lagrange

[Seneca1]

Esercizio: Provare che $e$ non è un numero razionale utilizzando la formula di Taylor con il resto nella forma di Lagrange.

$e^x = 1 + x + x^2/2 + x^3/(3!) + ... + x^n/(n!) + (e^xi)/((n+1)!) x^(n+1)$

$e = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + ... + 1/(n!) + (e^xi)/((n+1)!) $

Credo di dover dimostrare che $AA q in NN \ {0}$ posso scrivere $e$ come $ p/q + r $, con $0 < r < 1/q $.

$e = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + ... + 1/(n!) + (e^xi)/((n+1)!)$

Qualcuno ha idee?

EDIT: Ho corretto il resto.

[Rigel1]

Supponi per assurdo che $e = \frac{p}{q}$ sia razionale, e prova a scrivere $(q+1)! e$ usando la formula di Taylor.

[Alextorm1]

Ma il resto di Lagrange nello sviluppo di [tex]e^x[/tex] in [tex]0[/tex] non dovrebbe essere [tex]\dfrac{e^{\xi}}{(n+1)!} x^{n+1}[/tex] ?

Correggendo il resto e chiamando [tex]M = 1+1 + \dots + \dfrac{1}{n!}[/tex] ti viene che [tex]e = M + \dfrac{e^{\xi}}{(n+1)!}[/tex] e quindi [tex]0 < e - M = \dfrac{e^{\xi}}{(n+1)!} < \dfrac{e}{(n+1)!}[/tex] (l'ultima maggiorazione perché per ipotesi hai [tex]0<\xi<1[/tex]).
Se supponi che [tex]e = \dfrac{p}{q}[/tex], con [tex]p,q[/tex] naturali, e moltiplichi per [tex]n! q[/tex] ottieni [tex]0 < n!p - n!Mq < \dfrac{p}{(n+1)}[/tex]. Se ora prendi arbitrariamente [tex]n = p^{1000}[/tex], vedi che [tex]0 < p^{1000}!(p - Mq) < \dfrac{p}{(p^{1000}+1)} < 1[/tex], ovvero che [tex]p^{1000}!(p - Mq)[/tex] è un intero compreso tra [tex]0[/tex] e [tex]1[/tex], che è assurdo.

[Seneca1]

"Alextorm": [tex]p,q[/tex] razionali

Qui intendevi naturali?

Comunque grazie mille.

[Alextorm1]

"Seneca":[quote="Alextorm"] [tex]p,q[/tex] razionali

Qui intendevi naturali?

Comunque grazie mille.[/quote]

Sì scusa, naturali.